Matemática para Engenharia 2: exercícios e questões de prova

O segundo curso de matemática para engenheiros: equações diferenciais de segunda ordem, matrizes e vetores, técnicas de integração com volumes de revolução, derivadas parciais e integrais duplas, séries e polinômios de Taylor, a transformada de Laplace e a convolução. São as ferramentas em que os cursos de circuitos, vibrações e controle se apoiam.

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Pacote de revisão (PDF)Formulários, etapas dos métodos e exercícios com soluções completas, prontos para imprimir.

Tópicos desta disciplina

  1. Equações diferenciaiscrescimento e decaimento exponencial · Lei de resfriamento de Newton · lineares de primeira ordemcálculos
  2. Matrizes e determinantesdeterminante 2×2 · 3×3 e produtos · valores próprios e sistemascálculos
  3. Vetores: produto escalar e vetorialmódulo e componentes · produto escalar · produto vetorial e momentoscálculos
  4. Integraispolinómios · exponenciais, logaritmos e substituição · áreas entre curvascálculos
  5. Cálculo de várias variáveisderivadas parciais e integrais duplas · gradiente, plano tangente e regra da cadeia · pontos críticos e integrais sobre regiõescálculos
  6. Sequências e sériesséries aritméticas e geométricas · convergência e séries de potências · polinômios de Taylor e Maclaurincálculos
  7. Transformadas de Laplacepares da tabela e teoremas dos valores · transformada inversa por frações parciais · EDOs e funções de transferênciacálculos
  8. Convolução e sistemas LITconvolução discreta · convolução contínua · resposta ao impulso e série de Fouriercálculos

Dicas de prova para Matemática para Engenharia 2

  • Em uma EDO linear, escreva primeiro a equação característica: suas raízes decidem a forma da solução.
  • Na integração por partes, escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva.
  • Use uma tabela de Laplace e frações parciais em vez de integrar a transformada à mão.

Exemplos resolvidos

Equações diferenciaisFácil
rr² + br + c?

Para a equação y″ + 4y′ + 3y = 0, encontre a raiz r da equação característica mais próxima de zero. Ela define com que lentidão a solução se extingue.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Calcule r

Mostrar dicas
  1. Substitua y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Fatore-a ou use a fórmula quadrática.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = ert: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·er₁t + B·er₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·ert (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Equação característica

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Raízes

r = −1, r = −3
mais próxima de zero: r = −1

Resposta

r = −1

A solução geral é y = A·e−1t + B·e−3t.

Matrizes e determinantesMédia
A =−153−5−1−3−513

Calcule o determinante det A da matriz 3×3 A apresentada.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Calcule det A

Mostrar dicas
  1. Desenvolva pela primeira linha com os sinais + − +.
  2. Cada termo é um elemento vezes o determinante 2×2 que resta ao riscar a sua linha e coluna.
  3. menores: 0, −30, −10.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.

Menores 2×2 da primeira linha

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Desenvolvimento por cofatores

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Resposta

det A = 120

Como a prática funciona

  • “Praticar esta disciplina” mistura exercícios de todos os seus tópicos, como numa prova de verdade.
  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Os exames simulados são cronometrados e não têm dicas; no final você recebe sua nota e uma revisão completa.

Calculadoras para esta disciplina

Calculadora de transformada de Laplace inversa (frações parciais)Calculadora da transformada de LaplaceCalculadora de determinante e matriz inversaCalculadora de autovalores e autovetoresCalculadora de meia-vida e decaimento exponencialResolvedor de sistemas de equações lineares (2×2 e 3×3)Calculadora de integrais (definida e indefinida)

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