Calculadora de transformada de Laplace inversa (frações parciais)
Insira seus valores. A resposta e a solução completa resolvida se atualizam enquanto você digita.
Resultado
Encontre a transformada de Laplace inversa de uma função racional F(s) = N(s)/D(s). Digite os coeficientes do numerador e do denominador, com a maior potência de s primeiro. A calculadora cancela fatores comuns, divide uma fração imprópria, encontra os polos, calcula cada coeficiente das frações parciais (para polos distintos, repetidos e complexos) e escreve f(t) como uma soma de exponenciais, potências de t, senos e cossenos.
Solução passo a passo
Escreva F(s) como uma razão de polinômios
Polos: raízes do denominador
Frações parciais
Pares de transformadas usados
Transformada de Laplace inversa
Como encontrar uma transformada de Laplace inversa com frações parciais
- Verifique se F(s) é própria: se o grau do numerador não for menor que o do denominador, divida primeiro. A parte polinomial gera impulsos δ(t), δ′(t) e assim por diante.
- Fatore o denominador para encontrar os polos: um polo real a dá um fator (s − a), um par complexo a ± bj dá (s − a)² + b².
- Escreva F(s) como uma soma de frações parciais e encontre os coeficientes. Para um polo simples, A = [(s − a)·F(s)] em s = a (método de Heaviside); polos repetidos exigem derivadas.
- Transforme cada termo com a tabela: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! e (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Some os termos para obter f(t) para t ≥ 0.
Perguntas e respostas
Como digito F(s)?
Digite os coeficientes de cada polinômio da maior potência de s para baixo, separados por espaços, com zeros nas potências ausentes. (s + 3)/(s² + 3s + 2) tem numerador 1 3 e denominador 1 3 2; 1/(s³ + 4s) tem numerador 1 e denominador 1 0 4 0. Frações como 1/2 e decimais são permitidos.
O que é o método de Heaviside (cover-up)?
Para um polo simples em s = a, multiplique F(s) por (s − a), cancele e substitua s = a. Para F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) isso dá 2/1 = 2 em s = −1 e 1/(−1) = −1 em s = −2, logo f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Como os polos complexos são tratados?
Um par de polos a ± bj dá um termo (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), cuja inversa é e^(at)·(B cos bt + C sen bt). A calculadora encontra B e C a partir do coeficiente complexo A em a + bj: B = 2·Re A e C = −2·Im A.
E se o grau do numerador for alto demais?
Então F(s) é imprópria. A divisão de polinômios dá F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). O polinômio Q(s) se transforma em impulsos: uma constante c dá c·δ(t), c·s dá c·δ′(t) e assim por diante. A parte própria R(s)/D(s) é expandida em frações parciais como de costume.
Qual a exatidão dos resultados?
Fatores comuns e fatores repetidos são encontrados exatamente, com frações. As raízes e os coeficientes são então calculados numericamente com cerca de 14 dígitos e mostrados com 4 algarismos significativos, de modo que polos irracionais, como os de s² + s + 1, aparecem como decimais.
Por que f(t) só vale para t ≥ 0?
A transformada de Laplace unilateral usa apenas os valores de f para t ≥ 0. A rigor, o resultado é f(t)·u(t), com u o degrau unitário, de modo que f(t) = 0 para t < 0.
Pratique você mesmo
Pratique Transformadas de Laplace
Uma calculadora dá a resposta. Na prova você precisa do método: pratique-o com exercícios novos, dicas e soluções resolvidas.