Transformadas de Laplace: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: transformada de Laplace · função de transferência
Exercícios grátis de Transformadas de Laplace com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: pares da tabela e teoremas dos valores, transformada inversa por frações parciais, EDOs e funções de transferência.
Exercício gratuitoFácil
Um sinal f(t) tem transformada de Laplace F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). Use o teorema do valor final para encontrar o valor f(∞) para o qual f(t) se estabiliza.
Circuitos, motores e tanques são descritos por equações diferenciais: a saída depende da sua própria taxa de variação. Resolvê-las diretamente é lento.
A transformada de Laplace transforma esse problema em álgebra. Você troca cada função do tempo f(t) por uma função F(s) de uma nova variável s.
Você resolve o problema com álgebra comum em s e depois traduz o resultado de volta para o tempo. Esse último passo é a transformada inversa.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Raramente você usa essa integral. Na prática, você consulta os pares de transformadas em uma tabela, como palavras em um dicionário entre duas línguas.
A figura mostra três sinais comuns: uma constante 1 (um degrau), uma exponencial decrescente e uma senoide. Abaixo de cada um está a sua transformada.
Autoavaliação Qual é a transformada de Laplace do sinal constante f(t) = 5?
1/(5s)
5/s
5
5s
Resposta: 5/s. Um fator constante fica na frente, e ℒ{1} = 1/s. Logo ℒ{5} = 5/s. Responder 5 esquece que a transformada de uma constante sempre traz o fator 1/s.
2A tabela de pares de transformadas
Aprenda estes cinco pares. Junto com duas regras, eles cobrem quase todos os problemas de prova.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Linearidade: as constantes ficam na frente, e uma soma é transformada termo a termo. Assim, 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Deslocamento: trocar s por s + a multiplica a função do tempo por e−at. Assim, (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Atenção ao par do seno: o numerador deve ser o próprio ω. Para 12/(s² + 9) você tem ω = 3, então escreva 12 = 4·3. O resultado é 4·sin 3t.
Em sin ωt e cos ωt, o ângulo ωt está em radianos. Coloque a calculadora em radianos antes de calcular.
Exemplo resolvido
Encontre f(t) para F(s) = 6/(s + 3) + 2/s, e calcule f(0,5).
1
Associe cada termo a um par
6/(s + 3) tem a forma 1/(s + a) com a = 3, vezes 6. O termo 2/s é a constante 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Escreva f(t)
Some as duas partes (linearidade):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Calcule em t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Resposta
f(t) = 6·e−3t + 2, então f(0,5) ≈ 3,34.
Autoavaliação Qual é a transformada inversa de 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Resposta: 2·sin 4t. ω² = 16, então ω = 4. O par precisa de 4 no numerador: 8 = 2·4, o que dá 2·sin 4t. 8·sin 4t esquece de dividir por ω. O cosseno pertence a s no numerador.
3Valores inicial e final sem inverter
Às vezes você só precisa saber onde f(t) começa ou onde termina. Dois teoremas dão isso direto de F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Valor inicial (s → ∞): para s muito grande só conta a maior potência de s no numerador e no denominador.
Valor final (s → 0): cancele o fator s e depois faça s = 0 em todos os fatores restantes, inclusive nos zeros.
O teorema do valor final só funciona se f(t) realmente se estabiliza: todos os polos de s·F(s) devem ter parte real negativa.
Valor final: para F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) você obtém s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Em s = 0 isso é 12/6 = 2, então f(∞) = 2.
Valor inicial: para F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) você obtém s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Para s grande isso se comporta como 3s²/s², então f(0⁺) = 3.
Para a inclinação inicial f′(0⁺), use a transformada da derivada, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Depois aplique a ela o teorema do valor inicial:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Para a mesma F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Multiplique por s e faça s → ∞. As maiores potências dão −5s²/s², então f′(0⁺) = −5.
Autoavaliação F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). Para que valor f(t) se estabiliza?
0,5
0
1
20
Resposta: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), que é 20/20 = 1 em s = 0. Descartar o fator de zero (s + 2) dá 0,5. O valor 0 é o limite s → ∞, que é o valor inicial.
4Frações parciais, passo a passo
A maioria das F(s) não está na tabela do jeito que aparece. Você as divide em frações simples que estão. Isso se chama frações parciais.
Cada raiz do denominador é um polo. Um polo simples em s = −a dá um termo A/(s + a), que no tempo vira A·e−at.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
A regra de cobertura encontra cada coeficiente. Para achar A, cubra o fator (s + a) em F(s) e faça s = −a em tudo o que sobrar.
Exemplo: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Então A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 e B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Logo f(t) = 2e−t − e−4t.
A posição de um polo diz a forma. Um polo real em −3 dá um decaimento puro e−3t. Um par complexo −1 ± j2 dá uma oscilação amortecida, e−t vezes sin 2t ou cos 2t.
Polo repetido (s + a)²: escreva A/(s + a) + B/(s + a)². O segundo termo dá B·t·e−at. Assim, (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Polos complexos: complete o quadrado, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². Então 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e−2t·sin 2t.
Fatore o denominador e liste os polos. Para um polinômio de segundo grau, encontre as raízes ou complete o quadrado.
Escreva uma fração por polo: A/s, B/(s + a) e assim por diante. Um polo repetido também recebe um termo ao quadrado.
Encontre cada coeficiente com a regra de cobertura. Mantenha os sinais dos fatores restantes.
Traduza cada termo de volta para o tempo com a tabela.
Substitua o tempo t (radianos para seno e cosseno). Verifique f(0⁺) e f(∞) com os teoremas de valor.
Resposta: 2. Cubra (s + 1) e faça s = −1 no resto: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. O valor −1 é B. 4 esquece de dividir pelo fator restante, e −2 inverte o sinal do fator restante: 4/(−2) em vez de 4/2.
5Um exemplo resolvido
Esta é uma questão média típica. Tente cada passo você mesmo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Encontre f(t) para F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) por frações parciais, e calcule f(0,5).
1
Monte as frações
O denominador já está fatorado. Os polos são s = 0, s = −2 e s = −3, todos simples.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Cobertura para A
Cubra o fator s e faça s = 0 no resto:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Cobertura para B e C
Cubra (s + 2) e faça s = −2. Depois cubra (s + 3) e faça s = −3. Mantenha todos os sinais.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
De volta ao tempo
Cada termo é um par da tabela: 2/s ↔ 2, e B/(s + a) ↔ B·e−at.
Em t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. O teorema do valor inicial concorda, porque s·F(s) → 0 para s grande.
Para t → ∞ só resta o 2. O teorema do valor final também dá 12/(2·3) = 2.
Resposta
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, então f(0,5) ≈ 0,685.
6Erros comuns
Confundir os teoremas: s → ∞ dá o valor inicial f(0⁺), e s → 0 dá o valor final f(∞).
Esquecer o fator s em s·F(s), ou descartar um fator de zero como (s + 2) ao fazer s = 0.
Erros de sinal na regra de cobertura: em s = −3 o fator (s + 2) vale −1, não 5.
Usar o par do seno sem dividir por ω: ω/(s² + ω²) precisa de ω no numerador.
Calcular sin ωt ou cos ωt com a calculadora em graus. O ângulo ωt está em radianos.
Usar o teorema do valor final quando f(t) nunca se estabiliza, por exemplo F(s) = 1/(s² + 4), que é uma senoide pura.
Autoavaliação F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Com a regra de cobertura, quanto vale o coeficiente B de e−3t?
3
6
−2
−3
Resposta: −3. Cubra (s + 3) e faça s = −3 no resto: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Um 3 positivo é um erro de sinal (é o coeficiente A de e−t). −2 divide pelo valor do polo em vez de pelo fator restante.
7Como são as questões de prova
Fácil: pares da tabela e teoremas de valor. Você inverte uma constante, uma exponencial, t·e−at, um seno ou um cosseno e a calcula, ou encontra f(0⁺), f(∞) ou a inclinação inicial f′(0⁺).
Médio: transformadas inversas por frações parciais. Você encontra um coeficiente A, inverte três polos simples s(s + a)(s + b), um polo repetido, ou polos complexos completando o quadrado.
Difícil: equações diferenciais e funções de transferência, por exemplo y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) com valores iniciais dados. Você encontra y em um dado instante.
No nível difícil, transforme cada derivada junto com suas condições iniciais:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Depois resolva a equação algébrica para Y(s) e inverta-a com frações parciais, como no exemplo resolvido.
Um sinal f(t) tem transformada de Laplace F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Use o teorema do valor final para encontrar o valor f(∞) para o qual f(t) se estabiliza.
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Calcule f(∞)
Mostrar dicas
Teorema do valor final: f(∞) = lim s·F(s) para s → 0.
Primeiro verifique se todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo, para que f(t) realmente se estabilize.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Verifique se o teorema se aplica
O teorema só vale quando f(t) se estabiliza; um polo no eixo imaginário ou no semiplano direito daria uma resposta errada.
Polos de s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, todos no semiplano esquerdo.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Sua transformada inversa tem a forma f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Encontre o coeficiente A por frações parciais.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
Calcule A
Mostrar dicas
Fatore o denominador: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
Regra de cobertura: A = [(s + 6)·F(s)] em s = −6.
Em s = −6: numerador 16, outro fator 2.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Fatore o denominador
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Regra de cobertura
Multiplique por (s + 6) e faça s = −6: o termo em B desaparece.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Resposta
A = 8
(B = −7, então f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Exemplo 3Difícil
Um sistema obedece a y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), com y(0) = 5 e y′(0) = 0. Em t = 0 é aplicada uma entrada em degrau u(t) = 5. Use a transformada de Laplace para encontrar y(0,6).
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transforme a equação
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Frações parciais
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Resultado
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Resposta
y(0,6) = 10,31
Verificação: y(0) = A + B + C = 5.
Perguntas e respostas
Transformadas de Laplace: o que é?
Circuitos, motores e tanques são descritos por equações diferenciais: a saída depende da sua própria taxa de variação. Resolvê-las diretamente é lento.
A transformada de Laplace transforma esse problema em álgebra. Você troca cada função do tempo f(t) por uma função F(s) de uma nova variável s.
Transformadas de Laplace: como resolver os exercícios passo a passo?
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformadas de Laplace: quais são os erros mais comuns?
Em s = 0 o fator s² + 2s + 23 é igual ao seu termo constante 23.
Calcule o limite s → 0, não s = 1.
Esse é B, o coeficiente de e−8t. A pertence ao polo s = −6.
Transformadas de Laplace: o que se pratica?
Fácil: pares da tabela e teoremas dos valores
Média: transformada inversa por frações parciais
Difícil: EDOs e funções de transferência
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
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