Transitórios RC e RL: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: circuito RC · carga e descarga do capacitor · regime transitório

Exercícios grátis de Transitórios RC e RL com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: carga RC, circuito RL, capacitor com carga inicial.

Exercício gratuitoFácil
+−Vs​5 Vt = 0R = 1 kΩC33 µF+−vC​

O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 10 ms.

Vs = 5 VR = 1 kΩC = 33 µFt = 10 ms
V
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O que você pratica

  1. Fácilcarga RC
  2. Médiacircuito RL
  3. Difícilcapacitor com carga inicial

Como resolver exercícios de Transitórios RC e RL

  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Erros comuns

  • Usar a fórmula de carga em um circuito de descarga.
  • Misturar unidades: kΩ vezes µF dá ms, não s.
  • Usar a resistência errada na constante de tempo.

Fórmulas principais

Constante de tempo
τ = RC | τ = L/R
Resposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Capacitor em CC
circuito aberto; vC não pode saltar
Indutor em CC
curto-circuito; iL não pode saltar
Regime permanente
t ≈ 5τ

Aprenda Transitórios RC e RL do zero

Antes disso: Resistores em série e paralelo

1O que é um transitório

Quando você fecha uma chave num circuito só com resistores, todas as correntes pulam de uma vez para o novo valor.

Um capacitor ou um indutor muda isso. Eles armazenam energia, e a energia armazenada não pode mudar em tempo zero. Assim o circuito passa suavemente do estado antigo para o novo.

Essa mudança suave é chamada de transitório. Depois de um tempo o circuito se estabiliza, e nada mais muda.

Pense em encher um balde por uma mangueira estreita. O balde é o capacitor, a mangueira estreita é o resistor. O nível sobe rápido no começo, depois cada vez mais devagar à medida que o balde enche.

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​
Autoavaliação Um capacitor descarregado é ligado a uma fonte de 12 V por um resistor. Qual é a tensão do capacitor logo depois de a chave fechar?
  1. 0 V
  2. 12 V
  3. 4,4 V
  4. 6 V

Resposta: 0 V. A tensão de um capacitor não pode pular. Era 0 V logo antes de a chave fechar, então continua 0 V logo depois. Ela só chega a 12 V depois de muito tempo.

2Capacitores e indutores no início e no fim

Você só precisa de duas regras para cada componente: o que não pode pular e como ele se comporta depois que tudo se estabilizou.

  • Capacitor: sua tensão vC não pode pular. Muito tempo depois da comutação, nenhuma corrente entra nele, então age como um circuito aberto (um vão).
  • Indutor: sua corrente iL não pode pular. Muito tempo depois da comutação, não há tensão sobre ele, então age como um curto-circuito (um fio).

O valor logo depois da comutação é o valor inicial, x(0). O valor depois da estabilização é o valor final, x(∞).

Para um capacitor que se carrega a partir de uma fonte Vs: vC(0) = 0 e vC(∞) = Vs. Para um indutor: i(0) = 0 e i(∞) = Vs/R.

Autoavaliação Uma fonte de 12 V alimenta um resistor de 20 Ω em série com um indutor. Que corrente flui muito tempo depois de a chave fechar?
  1. 0 A
  2. 0,6 A
  3. 1,67 A
  4. 240 A

Resposta: 0,6 A. Depois de estabilizado, o indutor é um simples fio, então só o resistor limita a corrente: 12/20 = 0,6 A. O 0 A é o valor logo depois da comutação, não no fim.

3A constante de tempo

A rapidez da mudança é determinada por um único número, a constante de tempo τ (tau).

τ = R·C τ = L/R

Unidades: kΩ vezes µF dá milissegundos. mH dividido por Ω também dá milissegundos.

Toda tensão e toda corrente segue a mesma curva exponencial entre seu valor inicial e final:

x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
tvC​Vs​0,63·Vs​τ2τ3τ4τ5τ
  • Depois de 1τ, a mudança está 63% completa. Depois de 2τ, 86%, depois de 3τ, 95%.
  • Depois de cerca de 5τ, o circuito está estabilizado para todos os efeitos práticos.

Para um capacitor que se carrega a partir de 0 V, a fórmula fica:

vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Autoavaliação Qual é a constante de tempo de um resistor de 4,7 kΩ com um capacitor de 10 µF?
  1. 0,47 ms
  2. 2,13 ms
  3. 47 ms
  4. 47 s

Resposta: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, porque kΩ vezes µF dá milissegundos. Dividir em vez de multiplicar dá 2,13 ms.

4O método passo a passo

  1. Encontre o valor inicial x(0) logo depois da comutação. Use a regra: vC e iL não podem pular.
  2. Encontre o valor final x(∞). Substitua um capacitor por um vão e um indutor por um fio, e resolva o circuito CC.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = R·C ou τ = L/R, usando a resistência que o capacitor ou o indutor enxerga.
  4. Coloque os três valores em x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
  5. Substitua o tempo t, na mesma unidade de τ, e calcule.

Se a questão pedir um tempo, resolva a mesma fórmula para t. Você vai precisar do logaritmo natural, ln.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a constante de tempo e a tensão do capacitor vC em t = 100 ms.

1

Observe o circuito

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​i

A chave liga Vs = 10 V ao capacitor por meio de R = 10 kΩ. C = 10 µF.

2

Valor inicial e final

O capacitor está descarregado e sua tensão não pode pular, então vC(0) = 0 V.

Muito tempo depois, não passa corrente, então não há tensão sobre R. Todos os 10 V ficam sobre C.

vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3

Constante de tempo

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4

Tensão em t = 100 ms

Aqui t é exatamente uma constante de tempo, então t/τ = 1.

vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5

Verifique a resposta

Depois de uma constante de tempo, o capacitor deve estar 63% carregado. 63% de 10 V é 6,3 V, então a resposta confere.

Também está abaixo da fonte de 10 V, como deve estar um capacitor que se carrega.

Resposta

τ = 100 ms e vC = 6,32 V em t = 100 ms.

6Erros comuns

  • Usar a fórmula de carga Vs·(1 − e−t/τ) quando o capacitor já tem uma tensão. Use a fórmula geral com x(0).
  • Misturar unidades: kΩ vezes µF é milissegundo, não segundo. Mantenha t e τ na mesma unidade.
  • Responder com Vs·e−t/τ. Essa é a parte que ainda falta (ou a tensão do resistor), não a tensão do capacitor.
  • Usar a resistência errada em τ. Use a resistência que o capacitor ou o indutor enxerga.
Autoavaliação Um capacitor tem 4 V quando é ligado a uma fonte de 10 V. Qual é vC depois de uma constante de tempo? (e−1 ≈ 0,368)
  1. 10,32 V
  2. 2,21 V
  3. 6,32 V
  4. 7,79 V

Resposta: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. A fórmula de carga sozinha dá 6,32 V, o que ignora os 4 V iniciais. 2,21 V é a parte que ainda falta.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: carga de um RC a partir de 0 V, como no exemplo. Você encontra τ ou a tensão do capacitor num instante dado.
  • Médio: um circuito RL com a corrente do indutor começando em 0. Você encontra i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), a tensão do indutor vL = Vs·e−t/τ, ou o tempo para atingir uma porcentagem da corrente final.
  • Difícil: um capacitor que já tem uma tensão. Você encontra vC num instante dado, ou o tempo para atingir uma tensão dada.

Para encontrar um tempo, reorganize a fórmula geral:

t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]

Com τ = L/R, mH dividido por Ω dá ms. Assim um indutor de 50 mH com 10 Ω tem τ = 5 ms.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
R = 1 kΩt = 0C68 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

O capacitor foi carregado até 5 V. Em t = 0 a chave fecha e o capacitor se descarrega por R. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 50 ms.

vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms

Calcule vC (V)

Mostrar dicas
  1. Um circuito RC de primeira ordem tem constante de tempo τ = RC. Com R em kΩ e C em µF, τ sai em ms.
  2. Sem fonte a tensão do capacitor decai para zero: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
  3. τ = 68 ms.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

kΩ vezes µF dá milissegundos.

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

Curva de descarga

O capacitor começa com sua tensão armazenada e decai para 0 V.

vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V

Resposta

vC = 2,397 V
Exemplo 2Média
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 75% do seu valor final? Encontre t.

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH

Calcule t (ms)

Mostrar dicas
  1. Para um circuito RL τ = L/R. Com L em mH e R em Ω, τ sai em ms.
  2. Logo depois de a chave fechar, a corrente no indutor ainda é zero; muito depois, o indutor age como um curto, então i(∞) = Vs/R.
  3. τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A

Resolva para o tempo

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms

Resposta

t = 4,159 ms
Exemplo 3Difícil
+−Vs​6 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 18 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para vC chegar a 8,4 V? Encontre t.

Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V

Calcule t (ms)

Mostrar dicas
  1. Use a solução geral de primeira ordem x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
  2. Aqui x(0) é a tensão armazenada no capacitor e x(∞) é a tensão da fonte, porque não passa corrente pelo capacitor depois que ele se estabiliza.
  3. τ = 100 ms.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ

Resolva para o tempo

8,4 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (8,4 − 6)/(18 − 6) = 0,2
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms

Resposta

t = 160,9 ms

Perguntas e respostas

Transitórios RC e RL: o que é?

Quando você fecha uma chave num circuito só com resistores, todas as correntes pulam de uma vez para o novo valor.

Um capacitor ou um indutor muda isso. Eles armazenam energia, e a energia armazenada não pode mudar em tempo zero. Assim o circuito passa suavemente do estado antigo para o novo.

Transitórios RC e RL: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Transitórios RC e RL: quais são os erros mais comuns?
  • Usar a fórmula de carga em um circuito de descarga.
  • Misturar unidades: kΩ vezes µF dá ms, não s.
  • Usar a resistência errada na constante de tempo.
Transitórios RC e RL: o que se pratica?
  • Fácil: carga RC
  • Média: circuito RL
  • Difícil: capacitor com carga inicial

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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