Erro em regime permanente e controle PID: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Erro em regime permanente e controle PID com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: tipo do sistema e constantes de erro, erros em regime permanente e ganho, projeto de P, PI e PD.

Exercício gratuitoFácil
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Uma malha com realimentação unitária tem a função de transferência de malha aberta G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Encontre a constante de erro de velocidade Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
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O que você pratica

  1. Fáciltipo do sistema e constantes de erro
  2. Médiaerros em regime permanente e ganho
  3. Difícilprojeto de P, PI e PD

Como resolver exercícios de Erro em regime permanente e controle PID

  1. Conte os polos da malha aberta C(s)·G(s) em s = 0: esse é o tipo do sistema.
  2. Calcule a constante de erro que corresponde à entrada: Kp para um degrau, Kv para uma rampa, Ka para uma parábola.
  3. Aplique ess = A/(1 + Kp), A/Kv ou A/Ka, ou resolva-a para o ganho de que você precisa.
  4. Para uma especificação de amortecimento ou velocidade, escreva o polinômio característico de malha fechada e compare-o com s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Erros comuns

  • Usar A/Kp em vez de A/(1 + Kp) para um degrau.
  • Esquecer o ganho da planta ao igualar os coeficientes: o ganho de malha é K vezes o ganho da planta.
  • Ignorar o integrador do controlador ao contar o tipo do sistema.
  • Esperar que um ganho proporcional sozinho remova o erro ao degrau em uma malha do tipo 0.

Fórmulas principais

Tipo do sistema
número de polos de G(s) em s = 0
Constantes de erro
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Degrau A
ess = A/(1 + Kp)
Rampa A·t
ess = A/Kv
Parábola A·t²/2
ess = A/Ka
Controlador PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Alvo de segunda ordem
s² + 2ζωns + ωn²
Sobressinal e tempos
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Aprenda Erro em regime permanente e controle PID do zero

Antes disso: Diagramas de blocos, Resposta ao degrau

1Seguir um comando

Uma malha de realimentação compara o comando r com a saída y e atua sobre o erro e = r − y. Idealmente a saída termina exatamente no comando.

Muitas vezes isso não acontece. Depois que o transitório se extingue, pode restar uma diferença: o erro em regime permanente ess.

tyress​

O tamanho de ess depende do tipo de entrada (um degrau, uma rampa ou uma parábola) e de quantos integradores a malha contém.

Autoavaliação Uma malha com realimentação unitária recebe r = 1 e sua saída se estabiliza em y = 0,95. Qual é o erro em regime permanente?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Resposta: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. A própria saída é 0,95, e o sinal é positivo porque a saída fica abaixo do comando.

2Tipo do sistema e constantes de erro

O tipo do sistema é o número de polos da malha aberta G(s) em s = 0, isto é, o número de integradores. G(s) = 10/(s(s + 5)) tem um, então é do tipo 1.

Três constantes de erro resumem G(s) em frequência muito baixa (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Com o teorema do valor final elas dão o erro para cada entrada:

degrau A: A/(1 + Kp) rampa A·t: A/Kv parábola A·t²/2: A/Ka
  • Tipo 0: erro finito ao degrau, erro infinito à rampa.
  • Tipo 1: erro nulo ao degrau, erro finito à rampa.
  • Tipo 2: erro nulo ao degrau e à rampa, erro finito à parábola.
Autoavaliação Qual é a constante de erro de velocidade Kv de G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Resposta: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), que é 10/5 = 2 em s = 0. O valor 0,5 é o erro à rampa 1/Kv, e não a constante.

3O método passo a passo

  1. Escreva a malha aberta: o controlador vezes a planta, C(s)·G(s).
  2. Conte seus polos em s = 0 para obter o tipo do sistema.
  3. Escolha a constante de erro que corresponde à entrada: Kp para um degrau, Kv para uma rampa, Ka para uma parábola.
  4. Calcule o limite: cancele os fatores s e depois faça s = 0 no que sobrar.
  5. Aplique a fórmula do erro, ou resolva-a para o ganho que dá um erro exigido.

Para uma especificação de amortecimento ou velocidade, escreva o polinômio característico de malha fechada e compare-o com s² + 2ζωns + ωn².

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma malha com realimentação unitária tem G(s) = K/(s(s + 4)). Ela deve seguir a rampa r(t) = 2t com um erro em regime permanente de 0,1. Encontre K e o coeficiente de amortecimento resultante.

1

Encontre o tipo do sistema

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) tem um polo em s = 0, então a malha é do tipo 1: uma rampa dá um erro finito.

2

Constante de velocidade

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Kv necessário

A inclinação da rampa é A = 2, então ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Ganho

K = 4·Kv = 80
5

Verifique o amortecimento

O polinômio característico é s² + 4s + 80, então ωn = √80 = 8,94 rad/s e ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

O erro é atendido, mas a resposta ao degrau tem sobressinal de cerca de 49 %. Esse compromisso é o motivo de os controladores serem mais que um simples ganho.

Resposta

K = 80, o que dá ζ = 0,22.

5Controladores P, PI e PID

O controlador PID combina três ações sobre o erro:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proporcional (Kp): uma malha mais rápida e um erro menor para uma planta do tipo 0, mas o erro ao degrau nunca chega a zero.
  • Integral (Ki/s): acrescenta um polo em s = 0, então o tipo sobe uma unidade e um degrau é seguido sem erro.
  • Derivativo (Kd·s): acrescenta amortecimento e reduz o sobressinal.

Para escolher os ganhos, iguale os coeficientes. Um controlador PI em G(s) = 2/(s + 3) dá o polinômio característico s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Para ωn = 5 rad/s e ζ = 0,8 o alvo é s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Autoavaliação Um integrador é acrescentado ao controlador de uma malha do tipo 0. O que acontece com o erro em regime permanente para um degrau unitário?
  1. Fica maior
  2. Fica menor, mas não zero
  3. Torna-se infinito
  4. Torna-se zero

Resposta: Torna-se zero. O integrador torna a malha do tipo 1, então Kp é infinito e A/(1 + Kp) = 0. Um ganho proporcional maior sozinho apenas diminuiria o erro.

6Erros comuns

  • Usar A/Kp em vez de A/(1 + Kp) para um degrau.
  • Esquecer o ganho da planta ao igualar os coeficientes: o ganho de malha é o ganho do controlador vezes o ganho da planta.
  • Contar apenas os integradores da planta e esquecer o de um controlador PI.
  • Omitir os zeros ao calcular Kv: um fator (s + 3) vale 3 em s = 0.
Autoavaliação Um degrau de tamanho 5 é aplicado a uma malha do tipo 0 com Kp = 9. Qual é o erro em regime permanente?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Resposta: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Dividir apenas por Kp dá 0,556, omitir o tamanho do degrau dá 0,1, e 4,5 é a saída final.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: tipo do sistema e constantes de erro. Você encontra o tipo, Kp, Kv ou Ka de uma função de transferência, um erro ao degrau ou a saída final de uma malha com controle P.
  • Médio: erros em regime permanente e ganho. Você encontra o erro para uma rampa, uma parábola ou um degrau mais uma rampa, ou o ganho que dá um erro exigido.
  • Difícil: projeto de P, PI e PD. Você escolhe K para um coeficiente de amortecimento, encontra o sobressinal, o tempo de pico ou o tempo de acomodação para um dado K, escolhe ganhos PI ou PD igualando coeficientes, ou encontra o erro à rampa com um controlador PI.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Uma malha com realimentação unitária tem a função de transferência de malha aberta G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Encontre a constante de erro de aceleração Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Calcule Ka

Mostrar dicas
  1. K_a = lim s²·G(s) quando s → 0.
  2. O s² cancela o polo duplo na origem.
  3. Ka = 2·2/2.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Erro em regime permanente: em uma malha com realimentação unitária e função de transferência de malha aberta G(s), o erro é E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e pelo teorema do valor final ess = lims→0 s·E(s). O tipo do sistema é o número de polos de G(s) em s = 0. As constantes de erro são Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Um degrau de tamanho A dá ess = A/(1 + Kp), uma rampa A·t dá A/Kv e uma parábola A·t²/2 dá A/Ka. Uma malha do tipo 0 segue um degrau com erro finito, uma malha do tipo 1 o segue exatamente e segue uma rampa com erro finito.

Constante de aceleração

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Resposta

Ka = 2
Exemplo 2Média
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Uma malha com realimentação unitária tem G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Encontre o ganho K que dá um erro em regime permanente de 2 % para uma entrada em degrau.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Calcule K

Mostrar dicas
  1. Para um degrau unitário e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Erro em regime permanente: em uma malha com realimentação unitária e função de transferência de malha aberta G(s), o erro é E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e pelo teorema do valor final ess = lims→0 s·E(s). O tipo do sistema é o número de polos de G(s) em s = 0. As constantes de erro são Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Um degrau de tamanho A dá ess = A/(1 + Kp), uma rampa A·t dá A/Kv e uma parábola A·t²/2 dá A/Ka. Uma malha do tipo 0 segue um degrau com erro finito, uma malha do tipo 1 o segue exatamente e segue uma rampa com erro finito.

Constante de erro necessária

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Ganho

K/10 = 49 → K = 490

Resposta

K = 490

Verifique também a estabilidade de malha fechada: para esta malha de segunda ordem qualquer K > 0 é estável.

Exemplo 3Difícil
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Um controlador proporcional K = 8 controla a planta G(s) = 5/(s(s + 2)) em uma malha com realimentação unitária. Encontre o tempo de acomodação de 2 % ts da resposta ao degrau, usando ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Calcule ts (s)

Mostrar dicas
  1. O polinômio característico é s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ é a metade do coeficiente de s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Controle P, PI e PID: o controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s atua sobre o erro. Um ganho proporcional torna a malha mais rápida e reduz o erro de uma planta do tipo 0, mas nunca o elimina. O termo integral acrescenta um polo em s = 0: o tipo do sistema sobe uma unidade, e um degrau é seguido sem erro. O termo derivativo acrescenta amortecimento. Para escolher os ganhos, escreva o polinômio característico de malha fechada e compare-o com s² + 2ζωns + ωn². Então %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd com ωd = ωn√(1 − ζ²), e ts ≈ 4/(ζωn).

Polinômio característico

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ e ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Tempo de acomodação

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Resposta

ts = 4 s

O tempo de acomodação não depende de K aqui: aumentar K só faz a resposta oscilar mais rápido.

Perguntas e respostas

Erro em regime permanente e controle PID: o que é?

Uma malha de realimentação compara o comando r com a saída y e atua sobre o erro e = r − y. Idealmente a saída termina exatamente no comando.

Muitas vezes isso não acontece. Depois que o transitório se extingue, pode restar uma diferença: o erro em regime permanente ess.

Erro em regime permanente e controle PID: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Conte os polos da malha aberta C(s)·G(s) em s = 0: esse é o tipo do sistema.
  2. Calcule a constante de erro que corresponde à entrada: Kp para um degrau, Kv para uma rampa, Ka para uma parábola.
  3. Aplique ess = A/(1 + Kp), A/Kv ou A/Ka, ou resolva-a para o ganho de que você precisa.
  4. Para uma especificação de amortecimento ou velocidade, escreva o polinômio característico de malha fechada e compare-o com s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Erro em regime permanente e controle PID: quais são os erros mais comuns?
  • Usar A/Kp em vez de A/(1 + Kp) para um degrau.
  • Esquecer o ganho da planta ao igualar os coeficientes: o ganho de malha é K vezes o ganho da planta.
  • Ignorar o integrador do controlador ao contar o tipo do sistema.
  • Esperar que um ganho proporcional sozinho remova o erro ao degrau em uma malha do tipo 0.
Erro em regime permanente e controle PID: o que se pratica?
  • Fácil: tipo do sistema e constantes de erro
  • Média: erros em regime permanente e ganho
  • Difícil: projeto de P, PI e PD

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

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  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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