Lógica digital: portas, mapas de Karnaugh e flip-flops: exercícios com soluções passo a passo

1Uns, zeros e portas

Os circuitos digitais trabalham com dois valores: 0 (tensão baixa, falso) e 1 (tensão alta, verdadeiro). Uma porta lógica recebe uma ou mais entradas e dá uma saída.

• AND dá 1 somente quando todas as entradas são 1. Escreve-se A·B ou AB.
• OR dá 1 quando pelo menos uma entrada é 1. Escreve-se A + B.
• NOT inverte: 0 vira 1 e 1 vira 0. Escreve-se A′ (ou com uma barra sobre A).
• NAND e NOR são AND e OR seguidos de NOT; o pequeno círculo num símbolo significa “invertido”.
• XOR (A ⊕ B) dá 1 quando as entradas são diferentes.

Uma tabela-verdade lista a saída para cada combinação das entradas: 2ⁿ linhas para n entradas. A linha ABC = 101 é a linha de número 5, chamada de mintermo m₅.

2Álgebra booleana

As expressões lógicas seguem regras parecidas com as da álgebra comum, mais algumas próprias. As mais úteis:

A regra de combinação X·Y + X·Y′ = X é o coração da simplificação: dois termos que diferem em uma variável se fundem, e essa variável desaparece.

Uma soma de produtos (SOP) é um OR de termos AND, como F = AB′ + C. Um produto de somas (POS) é um AND de termos OR, como F = (A + B)(B′ + C). Cada termo produto é formado por literais: variáveis, com ou sem apóstrofo.

3Mapas de Karnaugh

Um mapa de Karnaugh é uma tabela-verdade desenhada como uma grade em que células vizinhas diferem em exatamente uma variável. É por isso que as linhas e colunas seguem 00, 01, 11, 10 (código Gray), e não a ordem binária.

1. Escreva 1 na célula de cada mintermo; o número pequeno em cada célula é o número do mintermo.
2. Desenhe retângulos de 1, 2, 4, 8 ou 16 células em torno dos 1s. Os grupos podem dar a volta pelas bordas: as colunas da esquerda e da direita são vizinhas, assim como as linhas de cima e de baixo.
3. Faça cada grupo o maior possível e use o menor número de grupos possível até que todo 1 esteja coberto.
4. Leia cada grupo como um termo produto: mantenha apenas as variáveis que não mudam dentro dele. Um grupo de 2ᵏ células perde k variáveis.

No mapa acima, os quatro 1s formam um só grupo. Dentro dele A muda e C muda, só B = 1 permanece, então F = B.

As células marcadas com X são condições irrelevantes (don’t-cares): combinações de entrada que nunca ocorrem. Use um X como 1 quando ele aumentar um grupo e ignore-o caso contrário. Agrupar os 0s em vez disso dá a forma POS mínima.

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

5Flip-flops e contadores

As portas reagem às suas entradas imediatamente. Um flip-flop armazena um bit e só muda na borda ativa do clock (normalmente a borda de subida).

• Flip-flop D: Q passa a ser D a cada borda do clock (Q⁺ = D).
• Flip-flop T: inverte quando T = 1, mantém quando T = 0.
• Flip-flop JK: JK = 00 mantém, 01 zera para 0, 10 seta para 1, 11 inverte.

Um flip-flop que inverte muda a cada borda de subida, então sua saída tem metade da frequência do clock. Encadear n deles dá um contador binário de n bits com 2ⁿ estados. Um contador módulo N conta 0, 1, …, N − 1 e volta a 0; ele precisa do menor n com 2ⁿ ≥ N, e sua última saída funciona a f_clk/N.

Num contador assíncrono (ripple), cada estágio é acionado pelo anterior, então os atrasos se somam: o período do clock deve ser de pelo menos n·t_pd. Contadores com registradores de deslocamento usam menos estados: um contador em anel de n flip-flops tem n estados, um contador Johnson tem 2n.

6Erros comuns

• Escrever as colunas do mapa de Karnaugh como 00, 01, 10, 11. A ordem é o código Gray: 00, 01, 11, 10.
• Esquecer que os grupos dão a volta pelas bordas do mapa.
• Fazer grupos de 3 ou 6 células. Os grupos têm 1, 2, 4, 8 ou 16 células.
• Cobrir uma condição irrelevante que não ajuda: um X nunca precisa ser coberto.
• Ler um grupo mantendo as variáveis que mudam. Mantenha apenas as que permanecem constantes.
• Esquecer que um contador dá a volta: um contador de n bits conta módulo 2ⁿ.

7Como são as questões de prova

• Fácil: avaliar um circuito de portas para entradas dadas, contar os 1s da sua tabela-verdade, posicionar um mintermo em um mapa de Karnaugh, o número de portas NAND de uma função ou o atraso de propagação no pior caso.
• Médio: simplificar uma expressão, encontrar a forma SOP ou POS mínima com um mapa de Karnaugh, uma função construída com um multiplexador, ou o 1 isolado de um mapa.
• Difícil: mapas com condições irrelevantes, implicantes primos essenciais, diagramas de tempo de flip-flops, contadores após muitos pulsos, o número de flip-flops ou a frequência de saída, e registradores de deslocamento.

Confira uma expressão simplificada testando uma ou duas linhas da tabela-verdade: a original e a forma simplificada devem dar a mesma saída.