Aquisição de dados e amostragem: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Aquisição de dados e amostragem com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: Nyquist, LSB e taxas de dados, aliasing, bits e quadros UART, harmônicos, SQNR e projeto de sistemas.

Exercício gratuitoFácil
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​ = ?115200 Bd

Um enlace UART funciona a 115200 baud. Encontre a duração Tb de um bit, em µs.

baud = 115200 Bd
µs
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O que você pratica

  1. FácilNyquist, LSB e taxas de dados
  2. Médiaaliasing, bits e quadros UART
  3. Difícilharmônicos, SQNR e projeto de sistemas

Como resolver exercícios de Aquisição de dados e amostragem

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Erros comuns

  • Achar que uma frequência acima de fs/2 desaparece: ela aparece como um alias dentro da banda.
  • Dividir a faixa por N em vez de por 2ᴺ.
  • Arredondar o número de bits para baixo em vez de para cima.
  • Esquecer os bits de início e de parada: 8N1 envia 10 bits para cada byte.

Fórmulas principais

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Aprenda Aquisição de dados e amostragem do zero

Antes disso: Sistemas de numeração

1O que é aquisição de dados

Um computador não consegue ler uma tensão diretamente. Um sistema de aquisição de dados transforma uma grandeza física em números: um sensor gera uma pequena tensão, um amplificador a escala e um conversor analógico-digital (ADC) a mede em instantes regulares e fornece um número binário.

TG∿01N, fs​0101

Duas escolhas decidem a qualidade dos números. A taxa de amostragem fs diz com que frequência o ADC mede, e o número de bits N diz com que finura ele divide sua faixa de tensão. Juntos, eles também decidem quantos dados você precisa armazenar ou enviar.

Autoavaliação Um ADC amostra a 2 kHz. Quantas amostras ele obtém em 0,5 s?
  1. 1000
  2. 2000
  3. 250
  4. 4000

Resposta: 1000. Amostras = fs·t = 2000·0,5 = 1000. Multiplicar por 2 em vez de 0,5 dá 4000, e ignorar o tempo dá 2000.

2Amostragem e aliasing

Para capturar uma senoide, você precisa de mais de duas amostras por período. Assim, a taxa de amostragem deve ser maior que o dobro da maior frequência do sinal. Metade da taxa de amostragem é a frequência de Nyquist:

fs > 2·fmax fN = fs/2

Uma frequência acima de fs/2 não desaparece. Suas amostras são exatamente iguais às de uma frequência menor, o alias. Na figura, uma senoide de 7 Hz (linha contínua) é amostrada a 10 Hz, e os pontos se ajustam igualmente bem a uma senoide de 3 Hz (tracejada).

tf = 7 Hzfs​ = 10 Hz
fa = |f − k·fs|, k = o número inteiro mais próximo de f/fs

Depois da amostragem, nada consegue separar o alias de um sinal real. Por isso um filtro analógico antialiasing remove tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Autoavaliação Um tom de 7 kHz é amostrado a 10 kHz sem filtro. Em que frequência ele aparece?
  1. 17 kHz
  2. 3 kHz
  3. 5 kHz
  4. 7 kHz

Resposta: 3 kHz. 7 kHz está acima de fs/2 = 5 kHz, então ele é rebatido: |7 − 1·10| = 3 kHz. Ele não pode ficar em 7 kHz, 17 kHz soma em vez de subtrair, e 5 kHz é apenas a frequência de dobramento.

3Resolução e quantização

Um ADC de N bits tem 2ᴺ códigos de saída, de 0 a 2ᴺ − 1. Ele divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ passos iguais. Um passo é chamado de 1 LSB (bit menos significativo):

1 LSB = VFSR/2ᴺ

Um ADC com truncamento fornece o código ⌊Vin/LSB⌋, o número inteiro abaixo. Um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro: esse é o seu erro de quantização.

Para resolver passos de tamanho r em uma faixa, você precisa do menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal:

SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Autoavaliação Um ADC de 10 bits tem faixa de 0 a 5,12 V. Quanto vale 1 LSB?
  1. 10 mV
  2. 2,5 mV
  3. 5 mV
  4. 512 mV

Resposta: 5 mV. 210 = 1024, então 1 LSB = 5,12/1024 = 0,005 V = 5 mV. Dividir por N = 10 dá 512 mV, usar 2⁹ dá 10 mV, e 2,5 mV é o maior erro de um ADC com arredondamento, meio LSB.

4Taxas de dados e enlaces seriais

Cada canal fornece fs amostras por segundo de N bits. A taxa de dados bruta é canais × fs × N. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros, então uma amostra de 12 bits usa 2 bytes.

Uma UART envia cada byte como um quadro: um bit de início, 8 bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada. No formato comum 8N1, isso dá 10 bits por byte. A taxa de baud conta bits por segundo, então um bit dura 1/baud.

bytes por segundo = baud/(bits por quadro)

Um multiplexador permite que um único ADC atenda vários canais, um de cada vez. Se uma conversão (com o tempo de estabilização) leva t, cada um dos n canais é amostrado a 1/(n·t).

5Um exemplo resolvido

Use esta ordem na maioria das questões:

  1. Confira a taxa de amostragem em relação à maior frequência do sinal.
  2. Encontre o tamanho do passo a partir da faixa e do número de bits.
  3. Conte os dados: canais, amostras por segundo, bytes por amostra.
  4. Compare com o que o enlace ou a memória suporta, contando os bits de início, de paridade e de parada.
Exemplo resolvido

Um registrador mede 4 canais de temperatura com um ADC de 12 bits em uma faixa de 0 a 4,096 V. Os sinais contêm frequências de até 20 Hz, e cada canal é amostrado a 100 Hz. Cada amostra é enviada como 2 bytes por uma UART a 9600 baud, 8N1. A taxa de amostragem é suficiente, quanto vale 1 LSB e o enlace dá conta?

1

Verificação de Nyquist

2·fmax = 2·20 = 40 Hz < 100 Hz

A taxa de amostragem é suficiente.

2

Tamanho do passo

1 LSB = 4,096/212 = 4,096/4096 = 0,001 V = 1 mV
3

Dados a enviar

4 canais · 100 amostras/s · 2 bytes = 800 bytes/s
4

Capacidade do enlace

8N1 envia 10 bits por byte.

9600/10 = 960 bytes/s ≥ 800 bytes/s
5

Verifique a resposta

Na linha, isso dá 800·10 = 8000 bit/s, abaixo de 9600 baud. O enlace está 83 % ocupado.

Resposta

Sim: 100 Hz é mais que o dobro de 20 Hz, 1 LSB = 1 mV, e o enlace precisa de 800 dos seus 960 bytes/s.

6Erros comuns

  • Achar que uma frequência acima de fs/2 simplesmente se perde: ela aparece como um alias dentro da banda.
  • Dividir a faixa por N em vez de 2ᴺ.
  • Arredondar o número de bits para baixo: 2ᴺ deve ser pelo menos faixa/resolução.
  • Contar 8 bits por byte em uma UART: 8N1 precisa de 10.
  • Esquecer que uma amostra de 10 ou 12 bits é armazenada em 2 bytes inteiros.
Autoavaliação Quantos bytes por segundo uma UART de 9600 baud consegue enviar no formato 8N1?
  1. 1067
  2. 1200
  3. 9600
  4. 960

Resposta: 960. Cada byte precisa de 10 bits (início, 8 de dados, parada): 9600/10 = 960. Dividir por 8 esquece os bits de início e de parada, e dividir por 9 esquece um deles.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: Nyquist, LSB e taxas de dados. Você encontra a taxa de amostragem mínima, a frequência de Nyquist, o tamanho do LSB ou o erro de quantização, o tempo de bit de uma UART ou a taxa de dados bruta.
  • Médio: aliasing, bits e quadros UART. Você encontra uma frequência de alias, o número de bits para uma resolução, o código de saída para uma tensão, a memória para uma gravação, a taxa de bytes de um formato UART ou o SQNR ideal.
  • Difícil: harmônicos, SQNR e projeto de sistemas. Você encontra onde um harmônico sofre aliasing, os bits para um SQNR exigido, a maior frequência que um ADC transmitido por UART consegue capturar, a taxa de um ADC multiplexado, o erro de taxa de baud de um divisor ou a resolução de temperatura de uma cadeia de sensores.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​ = ?2400 Bd

Um enlace UART funciona a 2400 baud. Encontre a duração Tb de um bit, em µs.

baud = 2400 Bd

Calcule Tb (µs)

Mostrar dicas
  1. A taxa de baud é o número de bits enviados por segundo.
  2. Tb = 1/baud.
  3. 1 s = 10⁶ µs.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Tempo de bit

Tb = 1/2400 s = 416,7 µs

Resposta

Tb = 416,7 µs
Exemplo 2Média
Vin​N = 85 V2ᴺ − 101 LSB2,125 V?

Um ADC de 8 bits com faixa de entrada de 0 a 5 V trunca: seu código de saída é ⌊Vin/LSB⌋ com 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Encontre o código de saída decimal D para uma entrada de 2,125 V.

N = 8VFSR = 5 VVin = 2,125 V

Calcule D

Mostrar dicas
  1. Primeiro encontre o tamanho de um LSB.
  2. 1 LSB = 5/256 = 19,53 mV.
  3. Divida a entrada pelo LSB e mantenha a parte inteira.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Tamanho do passo

1 LSB = 5/28 = 19,53 mV

Código

Vin/LSB = 2125/19,53 = 108,8
código = ⌊108,8⌋ = 108

Resposta

D = 108

Em binário, isso é 01101100.

Exemplo 3Difícil
f0fs​/2fs​1,92 kHz7f₁?

Uma onda quadrada de 1,92 kHz é amostrada a 8 kHz sem filtro antialiasing. Uma onda quadrada contém os harmônicos ímpares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Em que frequência fa o harmônico 7f₁ aparece nos dados amostrados? Dê em Hz.

f₁ = 1,92 kHzfs = 8 kHzharmônico: 7f₁

Calcule fa (Hz)

Mostrar dicas
  1. O harmônico está em 7·1,92 kHz = 13,44 kHz, acima de fs/2 = 4 kHz.
  2. Ele aparece em fa = |f − k·fs| com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. 13440/8000 = 1,68.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência do harmônico

7f₁ = 7·1,92 kHz = 13,44 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

m = round(1,68) = 2

Frequência de aliasing

fa = |13440 − 2·8000| = 2560 Hz

Resposta

fa = 2560 Hz

O alias cai dentro da banda do sinal, onde nenhum filtro digital consegue removê-lo. Só um filtro analógico antes do ADC ajuda.

Perguntas e respostas

Aquisição de dados e amostragem: o que é?

Um computador não consegue ler uma tensão diretamente. Um sistema de aquisição de dados transforma uma grandeza física em números: um sensor gera uma pequena tensão, um amplificador a escala e um conversor analógico-digital (ADC) a mede em instantes regulares e fornece um número binário.

Duas escolhas decidem a qualidade dos números. A taxa de amostragem fs diz com que frequência o ADC mede, e o número de bits N diz com que finura ele divide sua faixa de tensão. Juntos, eles também decidem quantos dados você precisa armazenar ou enviar.

Aquisição de dados e amostragem: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.
Aquisição de dados e amostragem: quais são os erros mais comuns?
  • Achar que uma frequência acima de fs/2 desaparece: ela aparece como um alias dentro da banda.
  • Dividir a faixa por N em vez de por 2ᴺ.
  • Arredondar o número de bits para baixo em vez de para cima.
  • Esquecer os bits de início e de parada: 8N1 envia 10 bits para cada byte.
Aquisição de dados e amostragem: o que se pratica?
  • Fácil: Nyquist, LSB e taxas de dados
  • Média: aliasing, bits e quadros UART
  • Difícil: harmônicos, SQNR e projeto de sistemas

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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