Impedância CA e fasores: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: corrente alternada · impedância complexa · fasores
Exercícios grátis de Impedância CA e fasores com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: RL série, RLC série, tensão no capacitor e ressonância.
Exercício gratuitoFácil
Um circuito RL série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 50 Hz. Encontre a tensão eficaz VR sobre o resistor.
A rede elétrica é corrente alternada (CA): a tensão oscila para cima e para baixo como uma onda senoidal, muitas vezes por segundo.
A frequência f é o número de oscilações completas por segundo, em hertz (Hz). A rede é de 50 Hz na Europa e de 60 Hz na América do Norte.
Os cálculos de CA costumam usar a frequência angular:
ω = 2π·f (rad/s)
Tensões e correntes alternadas são normalmente dadas como valores eficazes (rms). Um valor eficaz realiza o mesmo trabalho de aquecimento que esse valor em CC. “230 V” na rede significa 230 V eficazes.
Em circuitos de CA, indutores e capacitores também limitam a corrente, não só os resistores. O efeito combinado deles é chamado de impedância Z, medida em ohms.
Autoavaliação Uma fonte opera a 50 Hz. Qual é a sua frequência angular ω?
157 rad/s
314 rad/s
50 rad/s
7,96 rad/s
Resposta: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s. Usar o próprio f (50) ou dividir por 2π (7,96) são os deslizes usuais; 157 esquece o fator 2.
2Reatância de um indutor e de um capacitor
Um indutor e um capacitor resistem à CA de um modo que depende da frequência. Essa oposição que depende da frequência é chamada de reatância X, em ohms.
XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
Um indutor se opõe às variações rápidas. Sua reatância XL cresce com a frequência. Em CC (f = 0) é um simples fio.
Um capacitor bloqueia a CC, mas deixa passar as variações rápidas. Sua reatância XC diminui à medida que a frequência sobe.
Use sempre L em henries e C em farads: 100 mH = 0,1 H e 10 µF = 10·10−6 F.
Autoavaliação Qual é a reatância de um indutor de 100 mH a 50 Hz?
0,0318 Ω
31,4 Ω
5 Ω
5000 Ω
Resposta: 31,4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,4 Ω. Usar f em vez de ω dá 5 Ω, e esquecer de converter mH em H dá 5000 Ω.
3Impedância e ângulo de fase
Num resistor, a tensão e a corrente sobem e descem juntas. Num indutor, a corrente fica um quarto de ciclo atrás da tensão; num capacitor, ela fica um quarto de ciclo à frente.
Por causa dessa defasagem, você não pode somar R e X como números simples. Soma-se em ângulo reto, escrevendo um número complexo com j:
Z = R + j·(XL − XC)
O módulo da impedância e o seu ângulo vêm do triângulo retângulo:
|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)
A lei de Ohm funciona com o módulo: I = V / |Z|. O ângulo φ diz o quanto a corrente fica atrás da tensão. Um φ positivo significa indutivo (a corrente atrasa); um φ negativo significa capacitivo.
Autoavaliação Um circuito série tem R = 30 Ω e XL = 40 Ω. Qual é |Z|?
10 Ω
2500 Ω
50 Ω
70 Ω
Resposta: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. Somar os dois (70 Ω) ignora o ângulo reto, e 2500 esquece a raiz quadrada.
4O método passo a passo
Converta a frequência: ω = 2π·f.
Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC). Use H e F.
Encontre a reatância líquida X = XL − XC (circuito série).
Encontre |Z| = √(R² + X²) e, se necessário, φ = arctan(X/R).
Use a lei de Ohm: I = V/|Z|. Depois, a tensão sobre uma parte é I vezes o seu R ou X.
Num circuito série a mesma corrente passa por todas as partes. Por isso você pode encontrar I primeiro e usá-la em todo lugar.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Um circuito RL série com R = 50 Ω e L = 100 mH é ligado a uma fonte de 120 V (eficazes), 60 Hz. Encontre |Z|, a corrente eficaz I e o ângulo de fase φ.
1
Observe o circuito
Não há capacitor, então XC = 0.
2
Frequência angular e reatância
ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
3
Impedância
|Z| = √(50² + 37,7²) = 62,6 Ω
4
Corrente e ângulo de fase
I = V / |Z| = 120 / 62,6 = 1,92 A
φ = arctan(37,7 / 50) = 37,0°
O ângulo é positivo, então a corrente atrasa em relação à tensão, como esperado num circuito indutivo.
5
Verifique a resposta
O resistor consome 1,92·50 = 95,8 V e o indutor 1,92·37,7 = 72,2 V. Somados como números simples, isso dá 168 V, mais que a fonte.
Somados em ângulo reto, está certo: √(95,8² + 72,2²) = 120 V, a tensão da fonte.
Resposta
|Z| = 62,6 Ω, I = 1,92 A e φ = 37,0° (corrente atrasada).
6Erros comuns
Usar f em vez de ω = 2πf em XL e XC.
Somar R, XL e XC como números simples. R está em ângulo reto com X; XL e XC apontam em sentidos opostos.
Esquecer que a reatância capacitiva subtrai: X = XL − XC.
Deixar L em mH ou C em µF, ou usar uma calculadora em radianos quando se quer φ em graus.
Autoavaliação Um circuito RLC série tem R = 40 Ω, XL = 50 Ω e XC = 20 Ω. Qual é |Z|?
110 Ω
50 Ω
70 Ω
80,6 Ω
Resposta: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω, portanto |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω. Somar XC em vez de subtraí-lo dá √(40² + 70²) = 80,6 Ω; 110 Ω soma tudo como se fossem números comuns.
7Como são as questões de prova
Fácil: um circuito RL em série em uma rede de 50 Hz ou 60 Hz. Você encontra |Z| ou a corrente eficaz I.
Médio: um circuito RLC em série em várias frequências. Você encontra a corrente I ou o ângulo de fase φ, que é negativo quando XC é maior que XL.
Difícil: um circuito RLC em série em que você encontra a tensão no capacitor, a corrente ou a frequência de ressonância.
Para a tensão no capacitor, encontre primeiro I e depois VC = I·XC. Perto da ressonância ela pode ser maior que a tensão da fonte.
Na ressonância XL = XC, então eles se cancelam e |Z| = R. A frequência da fonte não importa para isso:
Encontre a reatância XC de um capacitor de 1 µF a 100 Hz.
C = 1 µFf = 100 Hz
Calcule XC(Ω)
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Transforme L e C em reatâncias: XL = 2πfL e XC = 1/(2πfC).
Primeiro converta µF para F: multiplique por 10⁻⁶.
ω = 628,3 rad/s.
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Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Reatância
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω
Resposta
XC = 1592 Ω
Exemplo 2Média
Um circuito RLC série com L = 200 mH deve ressoar a 1000 Hz. Encontre a capacitância C necessária.
f0 = 1000 HzL = 200 mH
Calcule C(µF)
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Na ressonância XL = XC, o que dá f₀ = 1/(2π√(LC)).
Reorganize: C = 1/((2πf₀)²·L).
(2πf₀)² = 3,948 × 10⁷ s⁻².
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Condição de ressonância
Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF
Resposta
C = 0,1267 µF
Exemplo 3Difícil
Um circuito RLC série tem R = 20 Ω, L = 200 mH e C = 1 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.
R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF
Calcule Q
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Primeiro encontre a frequência de ressonância f₀ = 1/(2π√(LC)).
Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
f₀ = 355,9 Hz, Q = 22,36.
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Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Frequência de ressonância
f0 = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz
Fator de qualidade
Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 22,36
Resposta
Q = 22,36
Perguntas e respostas
Impedância CA e fasores: o que é?
A rede elétrica é corrente alternada (CA): a tensão oscila para cima e para baixo como uma onda senoidal, muitas vezes por segundo.
A frequência f é o número de oscilações completas por segundo, em hertz (Hz). A rede é de 50 Hz na Europa e de 60 Hz na América do Norte.
Impedância CA e fasores: como resolver os exercícios passo a passo?
Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.
Impedância CA e fasores: quais são os erros mais comuns?
Usar f em vez de ω.
Somar os módulos das impedâncias em vez dos valores complexos.
Esquecer que a reatância capacitiva é negativa na impedância complexa.
Impedância CA e fasores: o que se pratica?
Fácil: RL série
Média: RLC série
Difícil: tensão no capacitor e ressonância
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
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