Diagramas de blocos: exercícios com soluções passo a passo
Exercícios grátis de Diagramas de blocos com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: série, paralelo e realimentação, funções de transferência de malha fechada e erros, perturbações, estabilidade e polos.
Exercício gratuitoFácil
O sinal R se divide em dois blocos em paralelo G₂ = 11 e G₃ = 8. Suas saídas se encontram em um ponto de soma com os sinais mostrados (+ and +), e a soma passa por G₁ = 9. Encontre o ganho global T = C/R.
Um sistema de controle é uma cadeia de partes: um controlador, um motor, um sensor. Um diagrama de blocos desenha cada parte como uma caixa e cada sinal como uma seta.
Um bloco multiplica o sinal de entrada pelo seu ganho ou função de transferência G. Se 3 entra em um bloco G = 5, saem 15.
Um ponto de soma (um círculo) soma ou subtrai sinais. O sinal ao lado de cada seta de entrada diz qual. Um ponto é um ponto de derivação: o sinal é copiado, não dividido.
Esta é a figura mais importante em controle. A saída C é medida por H e subtraída da referência R. A diferença E = R − H·C é o erro que aciona G.
Isso é realimentação negativa: quando a saída está alta demais, o erro diminui e a puxa de volta para baixo.
Autoavaliação Em um ponto de soma, R entra com + e o sinal de realimentação B entra com −. R = 10 e B = 4. O que sai do ponto de soma?
14
40
6
−6
Resposta: 6. Os sinais no ponto de soma dizem E = R − B = 10 − 4 = 6. 14 ignora o sinal de menos, e −6 subtrai ao contrário.
2Três regras para simplificar qualquer diagrama
Você reduz um diagrama passo a passo até restar um bloco. Seu ganho T = C/R é a função de transferência de malha fechada.
Série: blocos um depois do outro se multiplicam, G₁·G₂.
Paralelo: blocos que alimentam o mesmo ponto de soma se somam, com os sinais do ponto: G₁ + G₂ ou G₁ − G₂.
Malha de realimentação: um bloco direto G com realimentação negativa H vira G/(1 + G·H).
A regra da realimentação decorre de duas equações. No ponto de soma, E = R − H·C, e o bloco dá C = G·E. Então C = G·R − G·H·C e, portanto:
T = C/R = G/(1 + G·H)
Com realimentação positiva, o sinal é somado no ponto de soma, e o sinal no denominador se inverte: T = G/(1 − G·H).
O produto G·H é o ganho de malha. Quando é grande, T chega perto de 1/H: o sensor, e não a planta, define o ganho.
Autoavaliação G₁ = 2 e G₂ = 5 estão em série, com realimentação negativa H = 0,3. Quanto vale T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Resposta: 2,5. G = 2·5 = 10 e G·H = 3, então T = 10/(1 + 3) = 2,5. O valor 10 ignora a malha, −5 usa 1 − G·H, e 0,75 coloca H no numerador.
3Malhas com funções de transferência
Os blocos reais dependem de s, por exemplo um motor G(s) = b/(s + a). Valem as mesmas regras. Depois você elimina as frações dentro de frações.
Com realimentação unitária (H = 1), multiplique o numerador e o denominador de G/(1 + G) por (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
O polo de malha fechada é a raiz do denominador: p = −(a + b). Ele fica mais à esquerda que o polo de malha aberta −a, então a malha é mais rápida.
A constante de tempo é τ = 1/(a + b).
O ganho CC é T(0) = b/(a + b). Um degrau de tamanho A se estabiliza em css = A·T(0).
Com um ganho de sensor H, o denominador vira s + a + b·H.
O erro em regime permanente ess é o que resta de R − C após a estabilização. Com realimentação unitária, use as constantes de erro:
Para um degrau de tamanho A: ess = A/(1 + Kp), com a constante de posição Kp = G(0).
Para uma rampa r(t) = A·t: ess = A/Kv, com a constante de velocidade Kv = lims→0 s·G(s).
Para G(s) = 8/(s(s + 4)) o fator s se cancela: Kv = 8/4 = 2. Uma rampa r(t) = 1·t deixa então ess = 1/2 = 0,5.
Para uma malha de segunda ordem como G(s) = K/(s(s + 6)), a malha fechada tem s² + 6s + K = 0. Dois polos reais iguais (amortecimento crítico) exigem 6² = 4K, então K = 9.
Exemplo resolvido
G(s) = 6/(s + 2) é colocada em uma malha de realimentação negativa unitária. Encontre o polo de malha fechada, a constante de tempo e a saída em regime permanente para um degrau de tamanho 4.
1
Feche a malha
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Polo e constante de tempo
O polo é a raiz de s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Saída em regime permanente
Faça s = 0 para o ganho CC e depois multiplique pelo tamanho do degrau.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
O erro é 4 − 3 = 1. A constante Kp = G(0) = 3 dá o mesmo: 4/(1 + 3) = 1.
Resposta
p = −8, τ = 0,125 s e css = 3.
Autoavaliação G(s) = 6/(s + 2) está em uma malha de realimentação negativa unitária. Que número é o polo de malha fechada?
8
−0,125
−2
−8
Resposta: −8. T(s) = 6/(s + 8), então o polo é −8. −2 é o polo de malha aberta, antes da realimentação. Um polo é um valor de s, então aqui é negativo, e −0,125 o confunde com τ = 1/8.
4O método passo a passo
Encontre a malha mais interna. Reduza-a primeiro com G/(1 + G·H), ou G/(1 − G·H) para realimentação positiva.
Combine blocos em série (multiplique) e em paralelo (some com os sinais do ponto de soma).
Repita até restar um bloco. Esse bloco é T(s) = C/R.
Elimine as frações: multiplique o numerador e o denominador pelos denominadores de G(s).
Leia o que é pedido: os polos a partir do denominador, T(0) para o regime permanente, τ = 1/(valor do polo) para uma malha de primeira ordem.
Verificação rápida: em s = 0 você pode reduzir o diagrama só com números. Isso dá T(0) diretamente e pega a maioria dos erros de álgebra.
5Um exemplo resolvido
Esta é uma questão média típica com uma malha interna. Tente cada passo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
A planta G(s) = 3/(s + 1) tem uma malha interna de realimentação negativa com H₁ = 1. Um controlador K = 4 e uma malha externa de realimentação negativa unitária fecham o sistema. Encontre o polo de malha fechada p e o ganho CC T(0).
1
Observe o diagrama
Há duas malhas. A malha interna envolve apenas a planta. A malha externa envolve tudo, de C de volta a R.
2
Reduza a malha interna
Use G/(1 + G·H₁) e multiplique o numerador e o denominador por (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
Em série com o controlador
K e Gᵢ agora estão em série, então multiplique:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Feche a malha externa
Realimentação unitária em torno de 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
O polo é p = −16, e T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Verifique a resposta
Refaça em s = 0 só com números. G(0) = 3, a malha interna dá 3/(1 + 3) = 0,75, e K a transforma em 3.
A malha externa dá 3/(1 + 3) = 0,75. Isso coincide com T(0).
Resposta
T(s) = 12/(s + 16), então p = −16 e T(0) = 0,75.
6Erros comuns
Usar 1 − G·H para realimentação negativa. A realimentação negativa dá 1 + G·H, a positiva dá 1 − G·H.
Colocar H no numerador. T = G/(1 + G·H): H aparece apenas no ganho de malha.
Fechar a malha externa antes da interna. Trabalhe sempre de dentro para fora.
Esquecer o ganho do sensor H no polo: o denominador é s + a + b·H, não s + a + b.
Dar o polo de malha aberta −a ou o ganho de malha aberta G(0). A realimentação muda os dois.
Usar A/Kp para um erro ao degrau. A fórmula correta é A/(1 + Kp).
Autoavaliação Um amplificador G = 10 tem realimentação positiva H = 0,05: o sinal de realimentação é somado no ponto de soma. Quanto vale T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Resposta: 20. A realimentação positiva dá T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. O valor 6,67 usa a fórmula da realimentação negativa 10/1,5. 10 ignora a malha, e 0,5 é só o ganho de malha G·H.
7Como são as questões de prova
Fácil: série, paralelo e realimentação. Você reduz ganhos em uma malha, blocos em paralelo com sinais, ou realimentação positiva. Ou fecha uma malha unitária em torno de b/(s + a) e dá o polo, τ, T(0) ou css.
Médio: funções de transferência de malha fechada e erros. Uma malha interna como no exemplo, um ganho de sensor H, o ganho K para amortecimento crítico, ou o erro em regime permanente para um degrau ou uma rampa.
Difícil: perturbações, estabilidade e polos. Uma perturbação D somada na entrada da planta, ou o maior ganho Kmax para estabilidade com o teste de Routh–Hurwitz.
Para uma perturbação, use superposição: encontre C a partir de R com D = 0, depois C a partir de D com R = 0, e some os dois.
O sinal R se divide em dois blocos em paralelo G₂ = 7 e G₃ = 12. Suas saídas se encontram em um ponto de soma com os sinais mostrados (+ and −), e a soma passa por G₁ = 10. Encontre o ganho global T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12sinais: + G₂, − G₃
Calcule T
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Blocos em paralelo que alimentam um ponto de soma se somam com os sinais do ponto.
A combinação está em série com G₁, então multiplique.
G₂ − G₃ = -5.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Blocos em paralelo
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
Em série com G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Resposta
T = −50
Exemplo 2Média
Uma malha de realimentação negativa unitária tem G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). Um degrau de tamanho 2 é aplicado na referência. Encontre o erro em regime permanente ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Calcule ess
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Constante de erro de posição Kₚ = G(0).
Erro em regime permanente para um degrau de tamanho A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
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Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Constante de erro de posição
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Erro em regime permanente
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Resposta
ess = 1,455
Exemplo 3Difícil
Reduza o diagrama de blocos com G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), uma realimentação negativa interna H₁ = 4 em torno de G₂ e uma realimentação negativa externa H₂ = 1. Encontre o ganho CC T(0) de C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Calcule T(0)
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Malha interna: G₂/(1 + G₂·H₁). Depois T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
No total, T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Para o ganho CC faça s = 0 em cada bloco.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
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Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Um sistema de controle é uma cadeia de partes: um controlador, um motor, um sensor. Um diagrama de blocos desenha cada parte como uma caixa e cada sinal como uma seta.
Um bloco multiplica o sinal de entrada pelo seu ganho ou função de transferência G. Se 3 entra em um bloco G = 5, saem 15.
Diagramas de blocos: como resolver os exercícios passo a passo?
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Diagramas de blocos: quais são os erros mais comuns?
Verifique o sinal no ponto de soma: o caminho de G₃ entra com −.
Apenas blocos em paralelo se somam; G₁ está em série com eles e multiplica.
Blocos em paralelo se somam (com seus sinais); eles não se multiplicam.
Diagramas de blocos: o que se pratica?
Fácil: série, paralelo e realimentação
Média: funções de transferência de malha fechada e erros
Difícil: perturbações, estabilidade e polos
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
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