Superposição: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: teorema da superposição · princípio da sobreposição

Exercícios grátis de Superposição com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: 2 fontes de tensão, fonte de tensão + de corrente, 3 fontes.

Exercício gratuitoFácil
R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

Use superposição para encontrar a corrente IR1 em R1 no sentido da seta.

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
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O que você pratica

  1. Fácil2 fontes de tensão
  2. Médiafonte de tensão + de corrente
  3. Difícil3 fontes

Como resolver exercícios de Superposição

  1. Conte as fontes independentes. Você vai resolver um circuito mais simples por fonte.
  2. Mantenha uma fonte e desligue as outras: uma fonte de tensão vira um curto-circuito (um fio), uma fonte de corrente vira um circuito aberto (uma interrupção).
  3. Resolva o circuito mais simples para a tensão ou corrente de que você precisa, prestando atenção ao seu sentido.
  4. Repita para cada fonte e depois some as contribuições com seus sinais.

Erros comuns

  • Remover uma fonte de tensão em vez de substituí-la por um fio.
  • Somar as contribuições sem verificar seus sentidos.
  • Usar superposição para a potência: a potência não é linear, então encontre primeiro a corrente total e depois a potência.

Fórmulas principais

Superposição
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Fonte de tensão desligada
curto-circuito (0 V)
Fonte de corrente desligada
circuito aberto (0 A)
Divisor de tensão
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Divisor de corrente
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Aprenda Superposição do zero

Antes disso: Resistores em série e paralelo

1O que é a superposição

Muitos circuitos têm mais de uma fonte: duas baterias, ou uma bateria e uma fonte de corrente.

Resolver tudo de uma vez pode ser difícil. A superposição permite dividir o problema em partes mais simples.

A ideia: cada fonte empurra a sua própria corrente pelo circuito. A corrente real em um resistor é a soma do que cada fonte causa sozinha.

Pense em duas torneiras enchendo a mesma banheira. O nível da água sobe o que a primeira torneira acrescenta mais o que a segunda acrescenta.

Autoavaliação O que a superposição permite fazer?
  1. Ignorar todas as fontes, exceto a maior
  2. Multiplicar os efeitos das fontes
  3. Resolver o circuito uma vez para cada fonte e somar os resultados
  4. Substituir todos os resistores por um único resistor

Resposta: Resolver o circuito uma vez para cada fonte e somar os resultados. Você olha para uma fonte de cada vez, encontra o que ela causa e soma todas as contribuições no final.

2Desligando uma fonte

Para analisar uma fonte sozinha, você desliga as outras fontes. Desligar significa ajustar a fonte a zero.

  • Uma fonte de tensão ajustada a 0 V torna-se um simples fio (um curto-circuito).
  • Uma fonte de corrente ajustada a 0 A torna-se uma abertura (um circuito aberto).
+−0 V0 A

Apenas as fontes são desligadas. Todos os resistores permanecem exatamente onde estão.

Isso funciona para circuitos formados por resistores e fontes independentes. Esses circuitos são chamados de lineares: dobrar uma fonte dobra tudo o que ela causa.

Autoavaliação Como se desliga uma fonte de corrente?
  1. Removendo o resistor ao lado dela
  2. Substituindo-a por um circuito aberto (uma abertura)
  3. Substituindo-a por um curto-circuito (um fio)
  4. Substituindo-a por um resistor de 1 Ω

Resposta: Substituindo-a por um circuito aberto (uma abertura). Uma fonte de corrente desligada fornece 0 A. Uma abertura é a única coisa que não deixa passar corrente, qualquer que seja a tensão.

3As ferramentas de que você precisa

Cada circuito mais simples tem apenas uma fonte, então você pode resolvê-lo com resistores em série e em paralelo.

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

O divisor de tensão é a ferramenta que você mais usa. Dois resistores em série dividem a tensão da fonte em proporção ao seu valor:

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

Depois, a lei de Ohm, I = V/R, dá a corrente em qualquer resistor assim que você conhece a sua tensão.

Autoavaliação Uma fonte de 12 V alimenta 6 Ω e 2 Ω em série. Qual é a tensão sobre o resistor de 2 Ω?
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

Resposta: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. O resistor menor fica com a menor parte da tensão.

4O método passo a passo

  1. Conte as fontes independentes. Você resolverá um circuito mais simples para cada uma delas.
  2. Mantenha uma fonte e desligue todas as outras: fontes de tensão viram fios, fontes de corrente viram aberturas.
  3. Resolva o circuito mais simples para a grandeza de que precisa. Mantenha o mesmo sentido (ou os mesmos + e −) da pergunta.
  4. Repita para cada fonte.
  5. Some todas as contribuições com seus sinais. Uma contribuição no sentido oposto conta como negativa.

Desenhe cada circuito mais simples antes de calcular. A maioria dos erros vem de olhar para o desenho original enquanto se resolve outro circuito.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Encontre a corrente I3 em R3 (para baixo) neste circuito.

1

Observe o circuito

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

Há duas fontes, V1 = 12 V e V2 = 6 V. Então resolvemos dois circuitos mais simples.

2

Apenas V₁ ligada

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

Substitua V2 por um fio. Agora R2 vai do nó A direto ao fio inferior, então R2 e R3 estão em paralelo.

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

Divisor de tensão para V₁

V1 vê R1 = 6 Ω em série com o par paralelo de 2 Ω. A tensão em A é a parte que cabe à porção de 2 Ω:

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

Apenas V₂ ligada

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

Agora substitua V1 por um fio. R1 e R3 estão em paralelo: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5

Some as contribuições

As duas contribuições fluem para baixo por R3, então as duas são positivas.

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6

Verifique a resposta

Com as duas fontes ligadas, VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. As correntes que chegam a A pelos dois lados são (12 − 4,5)/6 = 1,25 A e (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.

Juntas somam 1,5 A, exatamente a corrente que sai por R3. A resposta está certa.

Resposta

I3 = 1,5 A, fluindo para baixo.

6Erros comuns

  • Remover uma fonte de tensão e deixar uma abertura. Uma fonte de tensão desligada é um fio.
  • Somar contribuições sem verificar seus sentidos. Desenhe uma seta para cada contribuição.
  • Calcular a potência por superposição. A potência não é linear: encontre primeiro a corrente total e depois use P = I²·R.
  • Esquecer uma fonte. Com três fontes você precisa de três circuitos mais simples.
Autoavaliação No exemplo, I₃′ = 1 A e I₃″ = 0,5 A em um resistor de 3 Ω. Qual potência R₃ consome?
  1. 2,25 W
  2. 3,75 W
  3. 4,5 W
  4. 6,75 W

Resposta: 6,75 W. Primeiro some as correntes: 1,5 A. Depois P = 1,5² · 3 = 6,75 W. Somar as duas potências separadas (3 + 0,75 = 3,75 W) está errado porque a potência não é linear.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: duas fontes de tensão e três resistores. Cada circuito mais simples é um divisor de tensão.
  • Médio: uma fonte de tensão e uma fonte de corrente. Lembre-se de que a fonte de corrente desligada vira uma abertura.
  • Difícil: três fontes, e o alvo pode ser uma tensão de nó ou uma corrente de ramo.

Algumas questões só dão medições. Por exemplo: com as duas fontes ligadas a corrente é 6,5 mA, e com V2 desligada é 4,5 mA. Então V2 sozinha causa 2 mA.

Como o circuito é linear, dobrar V1 dobra a sua contribuição. Use isso para prever a corrente depois que uma fonte muda.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

Use superposição para encontrar a tensão VR3 sobre R3 com a polaridade indicada.

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

Calcule VR3 (V)

Mostrar dicas
  1. Este circuito tem 2 fontes independentes, então resolva 2 circuitos mais simples, um por fonte. Desligue as outras: uma fonte de tensão vira um curto, uma fonte de corrente vira um circuito aberto.
  2. Com apenas V₁ ativa, R₂ e R₃ ficam em paralelo. Use um divisor de tensão para obter a tensão no nó A.
  3. Com apenas V1 ativa, VR3′ = 2,634 V. Encontre a outra contribuição do mesmo jeito e some.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Superposição: em um circuito linear, qualquer tensão ou corrente é a soma das respostas a cada fonte independente agindo sozinha. Para desligar uma fonte, substitua uma fonte de tensão ideal por um curto-circuito e uma fonte de corrente ideal por um circuito aberto. Os resistores ficam onde estão.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩACURTO

Caso 1 · V1 agindo sozinha

V₂ vira um curto, então R₂ agora vai de A ao terra, em paralelo com R₃.

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩCURTOR3​2 ΩA+−V2​18 V

Caso 2 · V2 agindo sozinha

V₁ vira um curto, então R₁ agora vai de A ao terra, em paralelo com R₃.

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V

Some as contribuições

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V

Um resultado negativo significa que, na verdade, a polaridade é oposta à marcada.

Exemplo 2Média
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

Use superposição para encontrar a potência PR4 absorvida por R4.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

Calcule PR4 (W)

Mostrar dicas
  1. Este circuito tem 2 fontes independentes, então resolva 2 circuitos mais simples, um por fonte. Desligue as outras: uma fonte de tensão vira um curto, uma fonte de corrente vira um circuito aberto.
  2. Encontre a corrente IR4 em R4 por superposição e depois eleve ao quadrado: P = I²R.
  3. Com apenas V1 ativa, IR4′ = 0,07059 A.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Superposição: em um circuito linear, qualquer tensão ou corrente é a soma das respostas a cada fonte independente agindo sozinha. Para desligar uma fonte, substitua uma fonte de tensão ideal por um curto-circuito e uma fonte de corrente ideal por um circuito aberto. Os resistores ficam onde estão.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBABERTO

Caso 1 · V1 agindo sozinha

Iₛ vira um circuito aberto, então R₃ e R₄ formam um único ramo em série de A ao terra, em paralelo com R₂.

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩCURTOR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

Caso 2 · Is agindo sozinha

V₁ vira um curto, então R₁ fica em paralelo com R₂. Iₛ se divide em B entre R₄ e o caminho por R₃.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A

Some as contribuições de corrente

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A

Potência no resistor

A potência depende do quadrado da corrente, então não obedece à superposição: some primeiro as correntes e depois eleve ao quadrado.

PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W

Resposta

PR4 = 14,06 W

Somar as potências dos casos separados daria 12,34 W, o que está errado.

Exemplo 3Difícil
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

Use superposição para encontrar a tensão VR2 sobre R2 com a polaridade indicada.

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

Calcule VR2 (V)

Mostrar dicas
  1. Este circuito tem 3 fontes independentes, então resolva 3 circuitos mais simples, um por fonte. Desligue as outras: uma fonte de tensão vira um curto, uma fonte de corrente vira um circuito aberto.
  2. Comece com V₁ sozinha: curto em V₂, abra Iₛ. Visto de A, R₃ está em paralelo com R₂+R₄.
  3. Com apenas V1 ativa, VR2′ = 0,6379 V. Encontre as outras contribuições do mesmo jeito e some.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Superposição: em um circuito linear, qualquer tensão ou corrente é a soma das respostas a cada fonte independente agindo sozinha. Para desligar uma fonte, substitua uma fonte de tensão ideal por um curto-circuito e uma fonte de corrente ideal por um circuito aberto. Os resistores ficam onde estão.

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAABERTOBCURTO

Caso 1 · V1 agindo sozinha

V₂ vira um curto e Iₛ um circuito aberto. Visto de A, R₃ está em paralelo com o par em série R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩCURTOR3​8 ΩAIs​1 ABCURTO

Caso 2 · Is agindo sozinha

As duas fontes de tensão viram curtos. Iₛ se divide em B entre R₄ (agora para o terra) e R₂ em série com R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, então o caminho da esquerda é R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩCURTOR3​8 ΩAABERTOB+−V2​15 V

Caso 3 · V2 agindo sozinha

V₁ vira um curto e Iₛ um circuito aberto. R₁ ∥ R₃ sai de A, em série com R₂ de volta a B.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V

Some as contribuições

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V

Um resultado negativo significa que, na verdade, a polaridade é oposta à marcada.

Perguntas e respostas

Superposição: o que é?

Muitos circuitos têm mais de uma fonte: duas baterias, ou uma bateria e uma fonte de corrente.

Resolver tudo de uma vez pode ser difícil. A superposição permite dividir o problema em partes mais simples.

Superposição: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Conte as fontes independentes. Você vai resolver um circuito mais simples por fonte.
  2. Mantenha uma fonte e desligue as outras: uma fonte de tensão vira um curto-circuito (um fio), uma fonte de corrente vira um circuito aberto (uma interrupção).
  3. Resolva o circuito mais simples para a tensão ou corrente de que você precisa, prestando atenção ao seu sentido.
  4. Repita para cada fonte e depois some as contribuições com seus sinais.
Superposição: quais são os erros mais comuns?
  • Remover uma fonte de tensão em vez de substituí-la por um fio.
  • Somar as contribuições sem verificar seus sentidos.
  • Usar superposição para a potência: a potência não é linear, então encontre primeiro a corrente total e depois a potência.
Superposição: o que se pratica?
  • Fácil: 2 fontes de tensão
  • Média: fonte de tensão + de corrente
  • Difícil: 3 fontes

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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