Análise nodal: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: método dos nós · tensões nodais · lei dos nós
Exercícios grátis de Análise nodal com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: 1 nó desconhecido, 2 nós desconhecidos, 2 nós, 3 fontes.
Exercício gratuitoFácil
Use análise nodal para encontrar a corrente IR1 em R1 no sentido da seta.
A análise nodal é um método padrão para encontrar todas as tensões de um circuito. Funciona mesmo quando as regras de série e paralelo não bastam.
Um nó é um ponto onde duas ou mais partes de um circuito se encontram. Um trecho inteiro de fio simples conta como um só nó, porque um fio não tem queda de tensão ao longo dele.
Você escolhe um nó como referência, também chamado de terra, e lhe dá 0 V. Toda outra tensão de nó é medida a partir desse nó.
Pense nas alturas de um mapa, medidas a partir do nível do mar. A água flui do alto para o baixo, e a vazão num cano depende da diferença de altura entre as suas pontas.
Quando você conhece as tensões de nó, a lei de Ohm dá todas as correntes. Assim, as tensões de nó são as únicas incógnitas de que você precisa.
Autoavaliação Qual nó tem tensão de 0 V por definição?
O nó ao lado da maior fonte
O nó com mais resistores
O nó de referência (terra) que você escolheu
Todo nó sem fonte
Resposta: O nó de referência (terra) que você escolheu. Você mesmo escolhe o nó de referência e o chama de 0 V. Todas as outras tensões de nó são medidas a partir dele.
2Lei das correntes de Kirchhoff
A carga não pode se acumular num nó. Então toda a corrente que entra num nó deve sair dele de novo. Esta é a lei das correntes de Kirchhoff (LKC).
ΣIin = ΣIout
Por exemplo, se 3 A e 2 A entram num nó, então 5 A no total devem sair por outros ramos.
Você escreve a corrente em cada resistor com a lei de Ohm, usando as tensões nas suas duas pontas:
I = (Va − Vb) / R
Esta é a corrente de a para b. Se o resultado for negativo, a corrente na verdade flui de b para a. Tudo bem: mantenha o sinal.
Autoavaliação O nó a está a 9 V e o nó b a 4 V. Um resistor de 5 Ω os liga. Que corrente flui de a para b?
1 A
1,8 A
2,6 A
−1 A
Resposta: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. Somar as tensões dá 2,6 A, trocá-las dá −1 A, e 1,8 A ignora a tensão em b.
3O método passo a passo
Escolha o nó de referência. O fio de baixo é a escolha habitual. Marque-o com o símbolo de terra.
Encontre os nós cuja tensão você já conhece. Um nó ligado ao terra por uma fonte de tensão fica na tensão dessa fonte.
Nomeie todos os outros nós (A, B, …). Suas tensões VA, VB, … são as incógnitas.
Em cada nó desconhecido, escreva a LKC: as correntes que saem pelos resistores somam a corrente injetada pelas fontes de corrente.
Escreva cada corrente de resistor como (Vnó − Voutra ponta)/R e depois resolva as equações.
Use a lei de Ohm para encontrar qualquer corrente de ramo que a questão peça.
Escrever toda corrente de resistor como saindo do nó torna os sinais automáticos. Você não precisa adivinhar antes os sentidos reais.
Você precisa de uma equação por nó desconhecido. Nunca escreva uma equação para o nó de referência: sua tensão já é conhecida.
4Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Encontre a tensão de nó VA e a corrente IR1 em R1, da fonte para A.
1
Observe o circuito
O fio de baixo é o terra. O topo de V1 está 15 V acima do terra, então esse nó é conhecido: 15 V.
Só o nó A é desconhecido, então você precisa de uma equação.
2
Escreva a LKC em A
Dois resistores saem de A: R1 vai ao nó de 15 V e R2 vai ao terra. A fonte de corrente injeta 1 A em A.
(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3
Resolva para VA
Multiplique os dois lados por 6 para eliminar as frações.
2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4
Encontre a corrente em R₁
IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A
O resultado é positivo, então 1 A realmente flui da fonte para A.
5
Verifique a resposta
R2 conduz 12/6 = 2 A para o terra. Entram em A 1 A por R1 e 1 A da fonte de corrente.
São 2 A entrando e 2 A saindo, então a LKC vale em A.
Resposta
VA = 12 V e IR1 = 1 A.
5Dois nós desconhecidos
Com dois nós desconhecidos, você escreve uma equação de LKC em cada nó e resolve as duas equações juntas.
No nó A, saem três resistores: R1, R2 e R3. No nó B, saem dois resistores e a fonte de corrente injeta 2 A.
A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2
Multiplique a primeira equação por 6 e a segunda por 3:
7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6
Some as duas equações. Os termos em VB se cancelam, então 6·VA = 24.
VA = 4 V, VB = 5 V
Note que R3 aparece nas duas equações, como (VA − VB) em A e como (VB − VA) em B. Essa é uma verificação rápida de que suas equações estão certas.
6Erros comuns
Confundir o sinal de um resistor compartilhado: é (VA − VB) em A, mas (VB − VA) em B.
Esquecer uma fonte de corrente que entra ou sai do nó.
Escrever uma equação de LKC para o nó de referência, ou tratar um nó conhecido como desconhecido.
Ignorar o sinal de menos de uma corrente negativa. Um resultado negativo significa que a corrente flui contra a seta.
Autoavaliação No nó A, um resistor de 4 Ω vai ao terra e outro resistor de 4 Ω vai a um nó de 12 V. Uma fonte de 2 A injeta corrente em A. Qual é VA?
10 V
12 V
2 V
6 V
Resposta: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 dá 2·VA − 12 = 8, então VA = 10 V. Esquecer a fonte dá 6 V; tratá-la como saindo de A dá 2 V.
7Como são as questões de prova
Fácil: um nó desconhecido A, com uma fonte de tensão e uma fonte de corrente ou uma segunda fonte de tensão. Uma equação de LKC basta.
Médio: dois nós desconhecidos A e B, com uma fonte de corrente em B. Escreva duas equações e resolva-as juntas.
Difícil: dois nós desconhecidos e três fontes: duas fontes de tensão e uma de corrente. O método é o mesmo, com mais termos.
A questão pede a tensão de um nó, ou a corrente por um resistor no sentido da seta.
Para uma corrente de ramo, encontre primeiro as tensões de nó. Depois use I = (Vinício − Vfim)/R ao longo da seta.
Só o nó A é incógnito. Escreva uma equação de LKC: a soma das correntes de ramo que saem de A é zero.
Cada corrente de ramo é (VA − Vk)/Rk. Junte os termos em VA de um lado.
Σ1/R = 0,9583 S.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Análise nodal: escolha um nó de referência, nomeie as tensões de nó desconhecidas, escreva a lei das correntes de Kirchhoff em cada nó desconhecido usando a lei de Ohm (I = ΔV/R) e resolva as equações.
LKC no nó A
Tome o fio inferior como terra. Cada ramo conduz (VA − Vk)/Rk saindo de A, onde Vk é a tensão da sua fonte (zero para um resistor simples). As correntes que saem de A somam zero.
(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0
Resolver para VA
VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V
Resposta
VA = 13,04 V
Exemplo 2Média
A fonte de tensão Vₛ entre A e B tem seu terminal + em B, então faz VB − VA = Vₛ. Use análise nodal com um supernó para encontrar a corrente Ix na fonte de tensão, de A para B como indicado pela seta.
Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω
Calcule Ix(A)
Mostrar dicas
Uma fonte de tensão entre dois nós que não são o terra fixa a diferença entre eles: VB − VA = Vs.
Escreva uma equação de LKC para o supernó em torno de A, B e da fonte: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
VA = 1 V.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Análise nodal: escolha um nó de referência, nomeie as tensões de nó desconhecidas, escreva a lei das correntes de Kirchhoff em cada nó desconhecido usando a lei de Ohm (I = ΔV/R) e resolva as equações.
Forme um supernó
A fonte de tensão entre A e B conduz uma corrente desconhecida, então a LKC não pode ser escrita em A ou em B separadamente. Envolva A, B e a fonte em um supernó: a corrente que entra nele é igual à corrente que sai.
VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is
Resolva
VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V
Corrente na fonte de tensão
Tudo o que passa pela fonte de A para B sai do nó B por R₂.
Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A
Resposta
Ix = 1,333 A
Um resultado negativo significa que a corrente real flui contra a seta.
Exemplo 3Difícil
Use análise nodal para encontrar a corrente IR4 em R4 no sentido da seta.
Tome o fio de baixo como terra (0 V). Os nós ligados diretamente a uma fonte de tensão já são conhecidos, então as incógnitas são VA e VB.
Escreva a LKC em A: para cada resistor, (VA − Voutro extremo)/R, e iguale a soma a qualquer corrente de fonte que entra em A.
Resolvendo, obtém-se VA = 2,455 V. Então IR4 = (tensão na cauda da seta − tensão na ponta)/R4.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Análise nodal: escolha um nó de referência, nomeie as tensões de nó desconhecidas, escreva a lei das correntes de Kirchhoff em cada nó desconhecido usando a lei de Ohm (I = ΔV/R) e resolva as equações.
Defina os nós
O terra é o fio de baixo. As tensões de nó conhecidas vêm direto das fontes (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Incógnitas: VA, VB.
LKC no nó A
As correntes que saem de A pelos resistores são iguais à corrente injetada em A pelas fontes.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3
LKC no nó B
As correntes que saem de B pelos resistores são iguais à corrente injetada em B pelas fontes.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05
Resolva
Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V
Resposta
IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A
Perguntas e respostas
Análise nodal: o que é?
A análise nodal é um método padrão para encontrar todas as tensões de um circuito. Funciona mesmo quando as regras de série e paralelo não bastam.
Um nó é um ponto onde duas ou mais partes de um circuito se encontram. Um trecho inteiro de fio simples conta como um só nó, porque um fio não tem queda de tensão ao longo dele.
Análise nodal: como resolver os exercícios passo a passo?
Escolha um nó de referência (terra) e nomeie as tensões dos outros nós.
Escreva a lei das correntes de Kirchhoff em cada nó desconhecido: as correntes que saem por cada ramo são iguais às correntes que entram.
Expresse cada corrente de ramo como (Va − Vb)/R.
Resolva o sistema de equações e depois encontre qualquer corrente de que precisar.
Análise nodal: quais são os erros mais comuns?
Trocar o sinal de uma corrente de ramo entre as equações dos dois nós.
Escrever uma equação para o nó de referência.
Esquecer uma fonte de corrente que entra ou sai de um nó.
Análise nodal: o que se pratica?
Fácil: 1 nó desconhecido
Média: 2 nós desconhecidos
Difícil: 2 nós, 3 fontes
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.