Thévenin e Norton: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: teorema de Thévenin · teorema de Norton · circuito equivalente

Exercícios grátis de Thévenin e Norton com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: rede divisora, com resistor em série e carga, com fonte de corrente e carga.

Exercício gratuitoFácil
R1​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 12 Ω
A
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O que você pratica

  1. Fácilrede divisora
  2. Médiacom resistor em série e carga
  3. Difícilcom fonte de corrente e carga

Como resolver exercícios de Thévenin e Norton

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

Erros comuns

  • Deixar a carga ligada ao encontrar Rth.
  • Somar em série resistores que, vistos dos terminais, estão na verdade em paralelo.
  • Esquecer que a potência máxima é entregue quando Rcarga = Rth.

Fórmulas principais

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Aprenda Thévenin e Norton do zero

Antes disso: Resistores em série e paralelo

1O que é um equivalente de Thévenin

Muitas vezes você só se importa com o que acontece em dois terminais de um circuito, por exemplo onde uma carga está ligada.

O teorema de Thévenin diz: visto de dois terminais a e b, qualquer circuito de fontes e resistores se comporta exatamente como uma fonte de tensão em série com um resistor.

+−Vth​Rth​ab

Uma bateria é uma boa imagem: dentro dela há uma célula química (a fonte) com alguma resistência interna. Vista de fora, só essas duas coisas importam.

Isso poupa muito trabalho. Depois de ter Vth e Rth, você pode testar muitas cargas diferentes com uma linha de cálculo para cada uma.

Autoavaliação Pelo que um equivalente de Thévenin substitui um circuito?
  1. Apenas um resistor
  2. Duas fontes de tensão em paralelo
  3. Uma fonte de corrente em série com um resistor
  4. Uma fonte de tensão em série com um resistor

Resposta: Uma fonte de tensão em série com um resistor. Vth em série com Rth. A forma de Norton usa uma fonte de corrente, mas em paralelo com Rth, não em série.

2Encontrando Vth e Rth

Você encontra os dois números com dois pequenos cálculos separados.

  • Vth é a tensão de circuito aberto: a tensão entre a e b sem nada ligado a eles.
  • Rth é a resistência que se vê olhando para a e b com todas as fontes independentes desligadas.

Desligar funciona como na superposição: uma fonte de tensão vira um fio, uma fonte de corrente vira uma abertura.

O equivalente de Norton é o mesmo circuito em outra forma: uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo Rth.

IN​Rth​ab
IN = Vth / Rth
Autoavaliação Um circuito tem Vth = 12 V e Rth = 4 Ω. Qual é a sua corrente de Norton?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Resposta: 3 A. IN = Vth/Rth = 12/4 = 3 A. É também a corrente que fluiria se você pusesse a em curto com b.

3O método passo a passo

  1. Remova a carga (se houver) e marque os terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b. Essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes. Encontre a resistência entre a e b com as regras de série e paralelo. Essa é Rth.
  4. Desenhe o equivalente: Vth em série com Rth, e depois recoloque a carga.
  5. A corrente na carga é IL = Vth / (Rth + RL).

Fato útil para o passo 2: com a e b abertos, não passa corrente em um resistor que leva apenas a a. Então não há tensão sobre ele.

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma carga RL = 4 Ω é ligada a a–b. Encontre o equivalente de Thévenin e a corrente na carga IL.

1

Observe o circuito

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabRL​4 Ω

Substituímos tudo o que está à esquerda de a–b por Vth e Rth.

2

Remova a carga e encontre Vth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabVth​ ?+−

Com a–b aberto, não passa corrente por R3, então a está na mesma tensão que o nó entre R1 e R2.

Esse nó é um divisor de tensão:

Vth = 24 · 3 / (6 + 3) = 8 V
3

Desligue a fonte e encontre Rth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω0 VabRth​ ?

A fonte vira um fio. Olhando a partir de a: R3 em série com (R1 ∥ R2).

R1 ∥ R2 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
Rth = 2 + 2 = 4 Ω
4

Recoloque a carga

+−8 V4 Ωab
IL = Vth / (Rth + RL) = 8 / (4 + 4) = 1 A
5

A forma de Norton

IN = 8 / 4 = 2 A

Mesmo circuito, outra forma: uma fonte de 2 A em paralelo com 4 Ω dá a mesma corrente de 1 A na carga.

Resposta

Vth = 8 V, Rth = 4 Ω e IL = 1 A.

5Potência máxima na carga

Uma pergunta clássica seguinte: qual carga recebe a maior potência?

A resposta é a carga igual à resistência de Thévenin:

RL = Rth ⇒ Pmax = Vth² / (4·Rth)

No exemplo, uma carga de 4 Ω recebe 8² / (4·4) = 4 W. Esse é o 1 A que encontramos: P = 1² · 4 = 4 W.

Autoavaliação Um circuito tem Vth = 10 V e Rth = 5 Ω. Qual resistência de carga recebe a maior potência?
  1. 0 Ω
  2. 10 Ω
  3. 2,5 Ω
  4. 5 Ω

Resposta: 5 Ω. A máxima transferência de potência ocorre quando RL = Rth = 5 Ω. Ela então recebe 10²/(4·5) = 5 W.

6Erros comuns

  • Deixar a carga ligada ao encontrar Vth ou Rth. Remova-a primeiro.
  • Esquecer de desligar as fontes para Rth, ou desligar uma fonte de tensão como uma abertura em vez de um fio.
  • Somar em série resistores que na verdade estão em paralelo vistos de a e b. Redesenhe o circuito do ponto de vista dos terminais.
  • Contar uma queda de tensão em um resistor que não conduz corrente no circuito aberto.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: uma fonte com um divisor de tensão. Você encontra Vth ou Rth.
  • Médio: o mesmo, com um resistor em série a mais até o terminal, como no exemplo.
  • Difícil: também uma fonte de corrente, e uma carga cuja corrente você precisa encontrar. A fonte de corrente desligada vira uma abertura.

Anote Vth e Rth com clareza antes de usá-los. Muitas questões pedem um deles pelo caminho.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω

Calcule Vth (V)

Mostrar dicas
  1. Você precisa de dois números: Rth (desligue todas as fontes e olhe o circuito a partir de a–b) e Vth (a tensão em a–b sem nada ligado). A corrente de Norton e os valores da carga saem desses dois.
  2. Com V₁ em curto, R₁ e R₂ ficam em paralelo vistos de a–b.
  3. Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 10 ΩCURTOR2​8 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, nenhuma corrente sai pelos terminais, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão simples.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8) = 8,889 V
Exemplo 2Média
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

Encontre a resistência de Thévenin Rth vista dos terminais a–b.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω

Calcule Rth (Ω)

Mostrar dicas
  1. Você precisa de dois números: Rth (desligue todas as fontes e olhe o circuito a partir de a–b) e Vth (a tensão em a–b sem nada ligado). A corrente de Norton e os valores da carga saem desses dois.
  2. Com V₁ em curto, R₁ ∥ R₂ fica em série com R₃ visto de a–b. Com a–b aberto, não passa corrente por R₃.
  3. R1 ∥ R2 = 1,714 Ω.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩCURTOR2​12 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
Exemplo 3Difícil
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

Uma carga RL = 2 Ω é ligada entre a–b. Use um equivalente de Thévenin para encontrar a potência PL entregue à carga.

V1 = 9 VIs = 0,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω

Calcule PL (W)

Mostrar dicas
  1. Você precisa de dois números: Rth (desligue todas as fontes e olhe o circuito a partir de a–b) e Vth (a tensão em a–b sem nada ligado). A corrente de Norton e os valores da carga saem desses dois.
  2. Com V₁ em curto e Iₛ aberta, Rth = (R₁ ∥ R₂) + R₃. Para Vth, toda a Iₛ precisa passar por R₃ até A.
  3. Rth = 11,33 Ω, Vth = 7,167 V.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩCURTOR2​4 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 8 = 11,33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 0,5·3,333 = 3,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,167 + 0,5·8 = 7,167 V
Rth​ = 11,33 Ω+−Vth​7,167 VRL​2 ΩIL​

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,167/(11,33 + 2) = 0,5375 A
PL = IL²·RL = 0,5375²·2 = 0,5778 W

Perguntas e respostas

Thévenin e Norton: o que é?

Muitas vezes você só se importa com o que acontece em dois terminais de um circuito, por exemplo onde uma carga está ligada.

O teorema de Thévenin diz: visto de dois terminais a e b, qualquer circuito de fontes e resistores se comporta exatamente como uma fonte de tensão em série com um resistor.

Thévenin e Norton: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.
Thévenin e Norton: quais são os erros mais comuns?
  • Deixar a carga ligada ao encontrar Rth.
  • Somar em série resistores que, vistos dos terminais, estão na verdade em paralelo.
  • Esquecer que a potência máxima é entregue quando Rcarga = Rth.
Thévenin e Norton: o que se pratica?
  • Fácil: rede divisora
  • Média: com resistor em série e carga
  • Difícil: com fonte de corrente e carga

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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