Ressonância LC, fator Q e largura de banda: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Ressonância LC, fator Q e largura de banda com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: frequência natural, Q e energia, RLC série e paralelo, projeto, perdas e decaimento.

Exercício gratuitoFácil
C = ?L = 4,7 mH

Um circuito LC com L = 4,7 mH deve ressoar em 50 kHz. Encontre a capacitância C em nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
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O que você pratica

  1. Fácilfrequência natural, Q e energia
  2. MédiaRLC série e paralelo
  3. Difícilprojeto, perdas e decaimento

Como resolver exercícios de Ressonância LC, fator Q e largura de banda

  1. Encontre primeiro a frequência de ressonância: ω₀ = 1/√(LC) e f₀ = ω₀/(2π).
  2. Decida se o circuito é série ou paralelo: no série Q = (1/R)√(L/C), no paralelo Q = R√(C/L).
  3. Use BW = f₀/Q para a largura de banda, ou os atalhos R/(2πL) (série) e 1/(2πRC) (paralelo).
  4. Em questões de energia, use que a energia total ½CV₀² permanece constante em um circuito LC ideal e oscila entre C e L a cada quarto de período.

Erros comuns

  • Confundir ω₀ (rad/s) com f₀ (Hz): eles diferem por 2π.
  • Usar a fórmula de Q do circuito série em um circuito paralelo, no qual um R maior significa um Q maior.
  • Colocar f₀ no ponto médio entre f₁ e f₂: ele é a média geométrica √(f₁f₂).
  • Esquecer de converter µH, nF e pF em H e F.

Fórmulas principais

Frequência natural
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Corrente de pico
Imax = V0√(C/L)
Fator de qualidade
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC série
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC paralelo
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Largura de banda
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Frequências de meia potência
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Circuito tanque com resistência da bobina r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Decaimento da amplitude
e−Rt/(2L)

Aprenda Ressonância LC, fator Q e largura de banda do zero

Antes disso: Impedância CA e fasores

1O que acontece em um circuito LC

Carregue um capacitor e ligue-o a um indutor. O capacitor impulsiona uma corrente pela bobina. A corrente cria um campo magnético e, quando o capacitor está descarregado, o campo mantém a corrente, de modo que o capacitor se carrega no sentido oposto. Depois tudo volta.

C+−Li

A energia oscila entre o campo elétrico de C (½Cv²) e o campo magnético de L (½Li²), como um pêndulo oscila entre altura e velocidade. Sem resistência, a energia total ½CV0² permanece a mesma.

Autoavaliação No instante em que a tensão do capacitor é zero, onde está a energia de um circuito LC ideal?
  1. Foi perdida na forma de calor
  2. Metade em C e metade em L
  3. Toda no capacitor
  4. Toda no indutor, e a corrente está no valor de pico

Resposta: Toda no indutor, e a corrente está no valor de pico. Com v = 0, o capacitor guarda ½Cv² = 0, então toda a energia é ½Li² no indutor: a corrente está no máximo. Um circuito ideal não tem resistência, portanto nada se perde.

2A frequência natural

O circuito oscila na frequência em que as reatâncias de L e C são iguais, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Com L = 10 mH e C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s e f0 = 1592 Hz. A energia passa de C para L em um quarto do período T = 1/f0.

A energia também dá a corrente de pico: ½CV0² = ½LImax², então Imax = V0√(C/L).

Autoavaliação O que acontece com f0 quando você dobra C?
  1. Aumenta por um fator √2
  2. Cai para f0/√2, cerca de 0,71·f0
  3. Dobra
  4. Fica pela metade

Resposta: Cai para f0/√2, cerca de 0,71·f0. f0 é proporcional a 1/√C, então dobrar C o divide por √2. Ele cai à metade apenas quando C é quatro vezes maior.

3Fator Q e largura de banda

Circuitos reais perdem energia na resistência. O fator de qualidade Q compara a energia armazenada com a perda: Q = 2π·(energia armazenada)/(energia perdida por ciclo). Um Q alto dá um pico de ressonância agudo.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

A largura de banda é a largura do pico entre as frequências de meia potência f1 e f2, em que a corrente vale 0,707 do seu valor de pico:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • RLC série: Q = (1/R)·√(L/C) e BW = R/(2πL). Uma resistência série pequena dá um Q alto.
  • RLC paralelo: Q = R·√(C/L) e BW = 1/(2πRC). Uma resistência paralela grande dá um Q alto.

4O método passo a passo

  1. Converta L e C em H e F e encontre depois ω0 = 1/√(LC) e f0 = ω0/(2π).
  2. Decida se R está em série ou em paralelo e use a fórmula de Q correspondente.
  3. Encontre a largura de banda BW = f0/Q.
  4. Para as frequências de meia potência use f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); para um Q alto, f0 ∓ BW/2 é uma boa aproximação.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Um circuito RLC série tem R = 10 Ω, L = 10 mH e C = 1 µF. Encontre sua frequência de ressonância, seu fator de qualidade, sua largura de banda e suas frequências de meia potência.

1

Observe o circuito

RLC

As três partes conduzem a mesma corrente, então este é um circuito série.

2

Frequência de ressonância

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Fator de qualidade

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Largura de banda

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Verificação: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Frequências de meia potência

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz e 1673 Hz

Verificação: 1673 − 1514 = 159 Hz, e √(1514·1673) = 1592 Hz.

Resposta

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz e f2 = 1,67 kHz.

6Erros comuns

  • Confundir ω0 em rad/s com f0 em Hz: eles diferem por 2π.
  • Usar a fórmula de Q do circuito série em um circuito paralelo.
  • Colocar f0 no ponto médio entre f1 e f2: ele é a média geométrica deles.
  • Esquecer de converter mH, µH, nF e pF em H e F.
Autoavaliação Um circuito RLC paralelo tem R = 10 kΩ, L = 10 mH e C = 1 µF. Qual é o seu Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Resposta: 100. Em paralelo, Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. A fórmula série (1/R)·√(L/C) dá 0,01, e omitir a raiz quadrada dá 1.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: frequência natural, Q e energia. Você encontra f0 ou o C para um dado f0, a largura de banda a partir de Q ou Q a partir da largura de banda, a energia armazenada ou a corrente de pico.
  • Médio: RLC série e paralelo. Você encontra Q ou a largura de banda de um circuito série ou paralelo, a frequência de meia potência exata, o tempo para a energia passar de C para L ou a energia em L para uma dada tensão no capacitor.
  • Difícil: projeto, perdas e decaimento. Você dimensiona R para uma largura de banda ou C para um filtro, encontra a energia perdida por ciclo, a resistência dinâmica de um circuito tanque, o número de ciclos até a amplitude cair à metade ou Q a partir das duas frequências de meia potência.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
C = ?L = 47 µH

Um circuito LC com L = 47 µH deve ressoar em 500 kHz. Encontre a capacitância C em nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Calcule C (nF)

Mostrar dicas
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Ressonância LC: um capacitor carregado ligado a um indutor produz uma corrente que o carrega no sentido oposto: a energia oscila entre o campo elétrico de C (½Cv²) e o campo magnético de L (½Li²) na frequência natural f0 = 1/(2π√(LC)). Sem resistência, a energia total ½CV0² permanece constante, de modo que a corrente de pico é Imax = V0√(C/L). Um período é T = 1/f0; a energia passa de C para L em um quarto dele.

Frequência angular

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Capacitância

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Resposta

C = 2,156 nF
Exemplo 2Média
V2 Ω2,2 mH220 nF

Um circuito RLC série tem R = 2 Ω, L = 2,2 mH e C = 220 nF. Encontre sua largura de banda BW em Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Calcule BW (Hz)

Mostrar dicas
  1. A largura de banda é f₀/Q.
  2. Para o RLC série isso se simplifica para BW = R/(2πL): C desaparece.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Fator Q e largura de banda: em um circuito ressonante, Q = 2π·(energia armazenada)/(energia perdida por ciclo). No RLC série, Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); no RLC paralelo, Q = R/(ω0L) = R√(C/L). A largura de banda entre as frequências de meia potência f1 e f2 (em que a potência é a metade e a corrente ou a tensão é 1/√2 do pico) é BW = f2 − f1 = f0/Q, que vale R/(2πL) em série e 1/(2πRC) em paralelo. A frequência de ressonância é a média geométrica f0 = √(f1f2), e f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). As perdas também fazem a oscilação decair: no RLC série, a amplitude cai como e−Rt/(2L).

Largura de banda em rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Largura de banda em Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Resposta

BW = 144,7 Hz

Com f₀ = 7,234 kHz, isso dá Q = 50.

Exemplo 3Difícil
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Um circuito tanque paralelo é feito de um capacitor de 10 nF e uma bobina de 47 µH com resistência do enrolamento de 0,5 Ω. Na ressonância, ele se comporta como um resistor, sua resistência dinâmica RD = L/(C·r). Encontre RD em kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Calcule RD (kΩ)

Mostrar dicas
  1. O circuito tanque puxa apenas uma pequena corrente na ressonância, então sua impedância é grande.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Fator Q e largura de banda: em um circuito ressonante, Q = 2π·(energia armazenada)/(energia perdida por ciclo). No RLC série, Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); no RLC paralelo, Q = R/(ω0L) = R√(C/L). A largura de banda entre as frequências de meia potência f1 e f2 (em que a potência é a metade e a corrente ou a tensão é 1/√2 do pico) é BW = f2 − f1 = f0/Q, que vale R/(2πL) em série e 1/(2πRC) em paralelo. A frequência de ressonância é a média geométrica f0 = √(f1f2), e f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). As perdas também fazem a oscilação decair: no RLC série, a amplitude cai como e−Rt/(2L).

Resistência dinâmica

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Verificação com Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Resposta

RD = 9,4 kΩ

Perguntas e respostas

Ressonância LC, fator Q e largura de banda: o que é?

Carregue um capacitor e ligue-o a um indutor. O capacitor impulsiona uma corrente pela bobina. A corrente cria um campo magnético e, quando o capacitor está descarregado, o campo mantém a corrente, de modo que o capacitor se carrega no sentido oposto. Depois tudo volta.

A energia oscila entre o campo elétrico de C (½Cv²) e o campo magnético de L (½Li²), como um pêndulo oscila entre altura e velocidade. Sem resistência, a energia total ½CV0² permanece a mesma.

Ressonância LC, fator Q e largura de banda: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Encontre primeiro a frequência de ressonância: ω₀ = 1/√(LC) e f₀ = ω₀/(2π).
  2. Decida se o circuito é série ou paralelo: no série Q = (1/R)√(L/C), no paralelo Q = R√(C/L).
  3. Use BW = f₀/Q para a largura de banda, ou os atalhos R/(2πL) (série) e 1/(2πRC) (paralelo).
  4. Em questões de energia, use que a energia total ½CV₀² permanece constante em um circuito LC ideal e oscila entre C e L a cada quarto de período.
Ressonância LC, fator Q e largura de banda: quais são os erros mais comuns?
  • Confundir ω₀ (rad/s) com f₀ (Hz): eles diferem por 2π.
  • Usar a fórmula de Q do circuito série em um circuito paralelo, no qual um R maior significa um Q maior.
  • Colocar f₀ no ponto médio entre f₁ e f₂: ele é a média geométrica √(f₁f₂).
  • Esquecer de converter µH, nF e pF em H e F.
Ressonância LC, fator Q e largura de banda: o que se pratica?
  • Fácil: frequência natural, Q e energia
  • Média: RLC série e paralelo
  • Difícil: projeto, perdas e decaimento

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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