Resposta ao degrau: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Resposta ao degrau com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: sistemas de primeira ordem, parâmetros de segunda ordem, sistemas físicos e projeto.

Exercício gratuitoFácil
+−5 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC​

Um capacitor descarregado C = 47 µF é carregado por uma fonte de degrau de 5 V através de um resistor R = 4,7 kΩ. Encontre a tensão do capacitor vC em t = 220,9 ms.

R = 4,7 kΩC = 47 µFV = 5 Vt = 220,9 ms
V
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O que você pratica

  1. Fácilsistemas de primeira ordem
  2. Médiaparâmetros de segunda ordem
  3. Difícilsistemas físicos e projeto

Aprenda Resposta ao degrau do zero

Antes disso: Transitórios RC e RL, Transformadas de Laplace

1O que é uma resposta ao degrau

Um degrau é uma entrada que salta de 0 para um valor constante em t = 0 e depois permanece lá. Pense em ligar um aquecedor, ou em pisar no acelerador e mantê-lo.

A resposta ao degrau é como a saída o acompanha. Ela não pode saltar de uma vez: move-se em direção a um novo valor final y(∞) e se estabiliza ali.

tyy(∞)ab

A curva a sobe suavemente e nunca ultrapassa. Esse é um sistema de primeira ordem, como um circuito RC ou um tanque aquecido.

A curva b ultrapassa, oscila algumas vezes e depois se estabiliza. Esse é um sistema de segunda ordem subamortecido, como a suspensão de um carro ou uma massa em uma mola.

O valor final vem do ganho CC G(0): um degrau de tamanho U se estabiliza em y(∞) = G(0)·U. Este é o teorema do valor final das transformadas de Laplace.

Autoavaliação Um sistema G(s) = 3/(2s + 1) recebe um degrau de tamanho 4. Qual é o valor final y(∞)?
  1. 12
  2. 3
  3. 4
  4. 6

Resposta: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, então y(∞) = 3·4 = 12. O valor 4 esquece o ganho, 3 esquece o tamanho do degrau, e 6 divide pelo 2 em 2s, que some em s = 0.

2Sistemas de primeira ordem

Um sistema de primeira ordem tem a forma padrão abaixo. K é o ganho estático e τ a constante de tempo em segundos.

G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)

Se G(s) está escrita como b/(s + a), divida o numerador e o denominador por a. Então K = b/a e τ = 1/a.

ty(t)K·U0,63·K·Uτ2τ3τ4τ5τ
  • Após 1τ a saída completou 63% da sua variação, após 3τ 95%, após 5τ mais de 99%.
  • O tempo para atingir uma fração x do valor final: t = −τ·ln(1 − x). Para 90%, t = τ·ln 10 = 2,3τ.
  • O tempo de subida de 10 a 90% é tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
  • Para um circuito RC, τ = R·C. Note que kΩ vezes µF dá milissegundos.

Se você mede a resposta, pode encontrar τ de trás para frente. Se a saída atingiu uma fração x no instante t, então τ = −t/ln(1 − x).

Exemplo resolvido

G(s) = 10/(s + 5) recebe um degrau de tamanho 2 em t = 0. Encontre o valor final e o tempo para atingir 90% dele.

1

Forma padrão

Divida o numerador e o denominador por 5:

G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2

Valor final

y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3

Tempo até 90%

Resolva 1 − e−t/τ = 0,9, então e−t/τ = 0,1:

t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Resposta

y(∞) = 4 e a saída atinge 90% após t ≈ 0,461 s.

Autoavaliação Qual é a constante de tempo de G(s) = 10/(s + 5)?
  1. 0,2 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 5 s

Resposta: 0,2 s. Escrita como 2/(0,2s + 1), a constante de tempo é τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s confunde τ com a, e 2 é o ganho K, não um tempo.

3Sistemas de segunda ordem

Um sistema de segunda ordem tem um denominador quadrático. Compare-o com a forma padrão:

G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
  • O termo constante é ωn², então a frequência natural é ωn = √(termo constante), em rad/s.
  • O coeficiente de s é 2ζωn, então o fator de amortecimento é ζ = (coeficiente de s)/(2ωn).
  • Para 0 < ζ < 1 a resposta ultrapassa e oscila. Um ζ menor significa mais ultrapassagem.

Para um degrau unitário o valor final é G(0) = K/ωn². Cinco números descrevem a forma da resposta:

ty(t)y(∞)tp​ymax​%OSts​
ωd = ωn·√(1 − ζ²) tp = π/ωd
%OS = 100·e−ζπ/√(1 − ζ²) ts ≈ 4/(ζωn)
  • ωd é a frequência amortecida: a rapidez com que a resposta oscila.
  • tp é o tempo de pico, quando a saída é a mais alta. %OS é a ultrapassagem percentual acima do valor final.
  • ts é o tempo de acomodação, depois do qual a saída permanece dentro de 2% do valor final.
ReImσjωd​ωn​θ

Os dois polos são s = σ ± jωd, com parte real σ = −ζωn. Sua distância à origem é ωn, e cos θ = ζ.

Autoavaliação Um sistema tem o denominador s² + 4s + 25. Qual é o fator de amortecimento ζ?
  1. 0,08
  2. 0,4
  3. 0,8
  4. 2

Resposta: 0,4. ωn = √25 = 5, e 2ζωn = 4 dá ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 esquece o 2, 0,08 divide por ωn² em vez de ωn, e 2 é ζωn.

4O método passo a passo

  1. Decida a ordem: um denominador de grau 1 é de primeira ordem, de grau 2 é de segunda ordem.
  2. Primeira ordem: escreva G(s) como K/(τs + 1) e leia K e τ.
  3. Segunda ordem: compare o denominador com s² + 2ζωns + ωn². Encontre primeiro ωn, depois ζ.
  4. Encontre o valor final y(∞) = G(0)·U.
  5. Aplique a fórmula do que é pedido: y(t), um tempo, tp, %OS, ts ou σ.
  6. Verifique as unidades: tempos em segundos, ω em rad/s, e o ângulo nas fórmulas com e… e π em radianos.

5Um exemplo resolvido

Esta é uma questão média típica. Tente cada passo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

G(s) = 16/(s² + 4s + 16) recebe um degrau unitário. Encontre ζ, ωn, a ultrapassagem percentual e o tempo de pico.

1

Frequência natural

O termo constante é ωn² = 16.

ωn = √16 = 4 rad/s
2

Fator de amortecimento

O coeficiente de s é 2ζωn = 4.

ζ = 4/(2·4) = 0,5

ζ está entre 0 e 1, então a resposta ultrapassa.

3

Ultrapassagem percentual

ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4

Tempo de pico

ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5

Verifique a resposta

O valor final é G(0) = 16/16 = 1, então o pico é cerca de 1,163. A figura da seção anterior usa este mesmo sistema.

O tempo de acomodação 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s é posterior ao pico, como deve ser.

Resposta

ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3% e tp ≈ 0,907 s.

6Erros comuns

  • Tratar a subida como linear. Uma exponencial atinge 90% após 2,3τ, não após 0,9τ: use t = −τ·ln(1 − x).
  • Usar ln(x) em vez de ln(1 − x). O logaritmo toma a parte que ainda falta.
  • Ler τ = a em b/(s + a). A constante de tempo é 1/a.
  • Usar ωn² como ωn. Tire a raiz quadrada do termo constante.
  • Esquecer o 2 em 2ζωn, ou usar ωn em vez de ωd em tp = π/ωd.
  • Dar a ultrapassagem como fração (0,163) quando a questão pede porcentagem (16,3%).
Autoavaliação G(s) = 2/(s + 4) recebe um degrau. Quanto tempo a saída leva para atingir 90% do seu valor final?
  1. 0,026 s
  2. 0,225 s
  3. 0,576 s
  4. 9,21 s

Resposta: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s e t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s trata a subida como linear (0,9τ). 0,026 s usa ln(0,9) em vez de ln(0,1). 9,21 s usa a = 4 em vez de τ.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: sistemas de primeira ordem. Você encontra y(∞), a saída em um dado instante, o tempo para atingir uma porcentagem, τ a partir de um ponto medido, ou o tempo de carga de um circuito RC.
  • Médio: parâmetros de segunda ordem. A partir de G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) você encontra ζ, ωn, %OS, tp, ts ou a parte real σ dos polos.
  • Difícil: sistemas físicos e projeto. Um sistema massa–mola–amortecedor ou um circuito RLC, ou ζ e ωn obtidos de trás para frente a partir de uma ultrapassagem e um tempo de pico medidos.

Para uma massa m, um amortecedor c e uma mola k, a equação m·x″ + c·x′ + k·x = F dá:

ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k

Para voltar de uma ultrapassagem, resolva a fórmula de %OS para ζ:

ζ = −ln(OS)/√(π² + ln²(OS)), OS = %OS/100

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
t (s)y(t)y(∞) = ?

Um sistema de primeira ordem G(s) = 2/(2s + 1) recebe uma entrada em degrau de tamanho 2 em t = 0, partindo do repouso. Encontre o valor final y(∞) da saída.

G(s) = 2/(2s + 1)U = 2

Calcule y(∞)

Mostrar dicas
  1. Teorema do valor final: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
  2. G(0) é o ganho CC.
  3. G(0) = 2.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Ganho CC

G(0) = 2

Valor final

y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4

Resposta

y(∞) = 4
Exemplo 2Média
t (s)y(t)3?

Um sistema tem a função de transferência G(s) = 213/(s² + 8s + 71) e recebe uma entrada em degrau unitário. Encontre o sobressinal percentual %OS da resposta ao degrau.

G(s) = 213/(s² + 8s + 71)

Calcule %OS (%)

Mostrar dicas
  1. Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ².
  2. ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
  3. ζ = 0,4747.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Compare com a forma padrão

O denominador deve coincidir com s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747

Resultado

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %

Resposta

%OS = 18,37 %
Exemplo 3Difícil
k = 800 N/mc = 9 N·s/mm = 2,5 kgF = 10 Nx(t)

Uma massa m = 2,5 kg está pendurada em uma mola k = 800 N/m com um amortecedor viscoso c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Em repouso, em equilíbrio, uma força constante F = 10 N é aplicada de repente. Encontre o instante tp em que o deslocamento é máximo.

m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N

Calcule tp (s)

Mostrar dicas
  1. Divida por m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, então ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)).
  2. ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
  3. O deslocamento final é F/k = 12,5 mm.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Frequência natural e razão de amortecimento

ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006

Resultado

ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s

Resposta

tp = 0,1765 s

Perguntas e respostas

Resposta ao degrau: o que é?

Um degrau é uma entrada que salta de 0 para um valor constante em t = 0 e depois permanece lá. Pense em ligar um aquecedor, ou em pisar no acelerador e mantê-lo.

A resposta ao degrau é como a saída o acompanha. Ela não pode saltar de uma vez: move-se em direção a um novo valor final y(∞) e se estabiliza ali.

Resposta ao degrau: como resolver os exercícios passo a passo?

Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Resposta ao degrau: quais são os erros mais comuns?
  • A saída se estabiliza em K·U, não em U: o ganho CC é G(0) = 2.
  • Expresse o sobressinal em porcentagem: multiplique por 100.
  • O expoente é −ζπ/√(1 − ζ²).
Resposta ao degrau: o que se pratica?
  • Fácil: sistemas de primeira ordem
  • Média: parâmetros de segunda ordem
  • Difícil: sistemas físicos e projeto

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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