Sinais e Sistemas: exercícios e questões de prova

Sinais contínuos e discretos que passam por sistemas lineares invariantes no tempo: convolução, respostas ao impulso e ao degrau, transformada de Laplace, resposta em frequência e série de Fourier. As provas combinam esboços com cálculos curtos.

Pratique esta disciplina grátisPraticar esta disciplinaFazer um exame simulado5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.

Pacote de revisão (PDF)Formulários, etapas dos métodos e exercícios com soluções completas, prontos para imprimir.

Tópicos desta disciplina

  1. Convolução e sistemas LITconvolução discreta · convolução contínua · resposta ao impulso e série de Fouriercálculos
  2. Transformadas de Laplacepares da tabela e teoremas dos valores · transformada inversa por frações parciais · EDOs e funções de transferênciacálculos
  3. Resposta ao degrausistemas de primeira ordem · parâmetros de segunda ordem · sistemas físicos e projetocálculos
  4. Diagramas de Bode e margensfiltros e assíntotas · módulo e fase · margens de estabilidadecálculos

Dicas de prova para Sinais e Sistemas

  • Esboce os sinais antes de convoluir: a sobreposição mostra os limites da soma ou da integral.
  • A saída de um sistema LIT começa na soma dos instantes iniciais e termina na soma dos instantes finais.
  • Uma senoide sai com a mesma frequência, multiplicada por |H(jω)| e deslocada de ∠H(jω).

Exemplos resolvidos

Convolução e sistemas LITFácil
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

As sequências x[n] = {4, −3, −2} e h[n] = {3, 1} começam ambas em n = 0. Encontre a amostra y[1] da convolução y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Calcule y[1]

Mostrar dicas
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Para n = 1 os termos são k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Convolução discreta: a saída de um sistema linear invariante no tempo é y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: inverta h, desloque-a de n, multiplique amostra a amostra por x e some. Se x tem Lx amostras começando em nx e h tem Lh amostras começando em nh, então y tem Lx + Lh − 1 amostras começando em nx + nh. A soma de todas as amostras de y é igual a (Σx)·(Σh). Um filtro FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … é uma convolução com h[n] = bn.

Termos da soma

Só contribuem os k para os quais x[k] e h[n − k] existem.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Some

y[1] = −5

Resposta

y[1] = −5
Transformadas de LaplaceMédia
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Sua transformada inversa tem a forma f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Encontre o coeficiente A por frações parciais.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

Calcule A

Mostrar dicas
  1. Fatore o denominador: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
  2. Regra de cobertura: A = [(s + 6)·F(s)] em s = −6.
  3. Em s = −6: numerador 16, outro fator 2.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Fatore o denominador

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

Regra de cobertura

Multiplique por (s + 6) e faça s = −6: o termo em B desaparece.

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

Resposta

A = 8
(B = −7, então f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)

Como a prática funciona

  • “Praticar esta disciplina” mistura exercícios de todos os seus tópicos, como numa prova de verdade.
  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Os exames simulados são cronometrados e não têm dicas; no final você recebe sua nota e uma revisão completa.

Calculadoras para esta disciplina

Calculadora de transformada de Laplace inversa (frações parciais)Calculadora de decibéis (dB, dBm e níveis sonoros)Calculadora do diagrama de Bode (margem de ganho e de fase)Calculadora da transformada de Laplace

Disciplinas relacionadas

Engenharia de Controle 1Preparação para o exame FE Electrical and ComputerEngenharia de Controle 2: Projeto de Controle com RealimentaçãoMatemática para Engenharia 2Preparação para o exame FE MechanicalCircuitos Elétricos 2: circuitos CASistemas MecatrônicosCircuitos Elétricos 1
Pratique esta disciplina grátisPraticar esta disciplinaFazer um exame simulado5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.