Convolução e sistemas LIT: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Convolução e sistemas LIT com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: convolução discreta, convolução contínua, resposta ao impulso e série de Fourier.

Exercício gratuitoFácil
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

As sequências x[n] = {−3, 2, 4, 3} e h[n] = {1, 1, 1} começam ambas em n = 0. Encontre a amostra y[1] da convolução y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
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O que você pratica

  1. Fácilconvolução discreta
  2. Médiaconvolução contínua
  3. Difícilresposta ao impulso e série de Fourier

Como resolver exercícios de Convolução e sistemas LIT

  1. Esboce os dois sinais e marque onde cada um é não nulo.
  2. Inverta h e deslize-a: para cada instante de saída, encontre a faixa em que os dois sinais se sobrepõem.
  3. Multiplique e some (discreto) ou multiplique e integre (contínuo) somente sobre essa sobreposição.
  4. Confira o resultado: a saída começa na soma dos instantes iniciais, termina na soma dos instantes finais, e sua área ou soma é o produto das áreas ou somas das entradas.

Erros comuns

  • Multiplicar os dois sinais amostra a amostra em vez de convoluí-los.
  • Deslocar h sem invertê-la, o que dá a correlação.
  • Usar uma fórmula da resposta ao degrau quando se pede a resposta ao impulso, ou o contrário.
  • Contar errado o número do harmônico: a componente em k/T é o harmônico k.

Fórmulas principais

Convolução discreta
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Convolução contínua
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Comprimento e soma
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Início, fim e área
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Degrau em e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistema de primeira ordem
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Recursão de primeira ordem
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Senoide por h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudes da série de Fourier
quadrada ±A: 4A/(kπ), k ímpar; triangular ±A: 8A/(π²k²), k ímpar; trem de pulsos: A·D e (2A/(kπ))|sen kπD|

Aprenda Convolução e sistemas LIT do zero

Antes disso: Integrais

1O que a convolução faz

Um sistema linear invariante no tempo (LIT) é descrito completamente pela sua resposta ao impulso h: a saída que ele dá quando a entrada é um único impulso curto.

Qualquer entrada pode ser vista como uma fileira de impulsos multiplicados e deslocados. Cada impulso produz uma cópia multiplicada e deslocada de h, e a saída é a soma de todas as cópias. Essa soma é a convolução y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

A convolução aparece sempre que um sistema tem memória: filtros, sensores, estruturas, circuitos e o espalhamento de um sinal no tempo.

Autoavaliação Um sistema tem h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). A entrada é uma única amostra x[0] = 2. Qual é a saída?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Resposta: y[n] = {2, 6}. Um impulso de altura 2 dá uma cópia de h multiplicada por 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. A convolução mantém a forma de h; ela não soma as amostras.

2Convolução discreta passo a passo

Para sequências a convolução é uma soma:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Inverta h: h[−k] é h espelhada em torno de k = 0.
  2. Desloque a h invertida de n.
  3. Multiplique-a amostra a amostra por x e some os produtos. Isso dá y[n].
  4. Repita para cada n. Se x tem Lx amostras e h tem Lh, y tem Lx + Lh − 1 amostras, começando na soma dos dois índices iniciais.

Uma verificação rápida: a soma de todas as amostras de y é igual a (Σx)·(Σh).

Autoavaliação Para x[n] = {1, 2} e h[n] = {3, 1}, ambas começando em n = 0, quanto vale y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Resposta: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Multiplicar apenas x[1]·h[1] dá 2, e 6 mantém só um dos dois produtos.

3Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Convolua x[n] = {2, 1, −1} com h[n] = {1, 3}, ambas começando em n = 0.

1

Observe as sequências

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x tem 3 amostras e h tem 2, então y tem 3 + 2 − 1 = 4 amostras, de n = 0 a n = 3.

2

y[0]

Só x[0] e h[0] se sobrepõem.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] e y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Verifique a resposta

Σx = 2 e Σh = 4, então Σy deve ser 8. De fato 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Resposta

y[n] = {2, 7, 2, −3} para n = 0 … 3.

4Convolução contínua

Para sinais em tempo contínuo a soma vira uma integral:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

O método é o mesmo: inverta h, deslize-a até a posição t e integre o produto sobre a parte em que os dois sinais são não nulos.

x(t)t12h(t)t1

Com x(t) = 2 para 0 ≤ t < 1 s e h(t) = e−tu(t), a saída enquanto o pulso está ligado é y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). Em t = 1 s ela chega a 2(1 − e−1) = 1,26, e depois disso decai como 1,26·e−(t − 1).

  • y começa na soma dos dois instantes iniciais e termina na soma dos dois instantes finais.
  • A área sob y é a área sob x vezes a área sob h.
  • Dois pulsos retangulares dão um trapézio; dois iguais dão um triângulo.
Autoavaliação x(t) é não nulo de 0 a 2 s e h(t) de 1 s a 4 s. Quando termina y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Resposta: 6 s. y termina na soma dos instantes finais: 2 + 4 = 6 s. Ela começa em 0 + 1 = 1 s, então dura 5 s; 5 s é a duração, e não o fim.

5Respostas ao impulso e séries de Fourier

Um sistema de primeira ordem y′ + a·y = b·x tem a resposta ao impulso h(t) = b·e−atu(t). Seu primo discreto y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] tem h[n] = b·aⁿ para n ≥ 0.

Uma senoide passa por um sistema LIT com a frequência inalterada. Ela é multiplicada por |H(jω)| e deslocada de ∠H(jω), onde H é a transformada de Fourier de h. Para h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Um sinal periódico de período T é uma soma de harmônicos nas frequências k/T. Algumas amplitudes padrão:

  • Onda quadrada entre −A e +A: apenas k ímpar, amplitude 4A/(kπ).
  • Onda triangular entre −A e +A: apenas k ímpar, amplitude 8A/(π²k²).
  • Trem de pulsos de altura A e ciclo de trabalho D: média A·D, harmônicos (2A/(kπ))·|sen(kπD)|.
Autoavaliação Uma onda quadrada comuta entre −2 e +2. Qual é a amplitude do seu terceiro harmônico?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Resposta: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 é a fundamental, 0,283 divide por k² como em uma onda triangular, e 0,424 usa 2A/(kπ), a fórmula de uma onda de 0 a A.

6Erros comuns

  • Multiplicar os dois sinais amostra a amostra em vez de convoluí-los.
  • Deslizar h sem invertê-la; isso dá a correlação, e não a convolução.
  • Confundir a resposta ao impulso com a resposta ao degrau: a resposta ao degrau é a soma acumulada ou a integral de h.
  • Contar errado os harmônicos: a componente em k/T é o harmônico k.
Autoavaliação x[n] = {1, 2} e h[n] = {1, 1}, ambas a partir de n = 0. Quanto vale y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Resposta: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. O produto amostra a amostra x[1]·h[1] dá apenas 2.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: convolução discreta. Você encontra uma amostra da saída, a maior amostra, a soma de todas as amostras, o primeiro ou o último índice de y, a saída de um filtro FIR ou a resposta a um degrau.
  • Médio: convolução contínua. Você encontra y(t) em um dado instante para dois pulsos, uma exponencial com um degrau ou um pulso, ou duas exponenciais, e a área, o início, o fim ou a duração de y.
  • Difícil: respostas ao impulso e séries de Fourier. Você encontra h(t) de uma EDO de primeira ordem, h[n] ou a resposta ao degrau de uma recursão, o ganho ou a fase para uma senoide, ou um harmônico de uma onda quadrada, triangular ou de pulsos.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

As sequências x[n] = {4, −3, −2} e h[n] = {3, 1} começam ambas em n = 0. Encontre a amostra y[1] da convolução y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Calcule y[1]

Mostrar dicas
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Para n = 1 os termos são k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Convolução discreta: a saída de um sistema linear invariante no tempo é y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: inverta h, desloque-a de n, multiplique amostra a amostra por x e some. Se x tem Lx amostras começando em nx e h tem Lh amostras começando em nh, então y tem Lx + Lh − 1 amostras começando em nx + nh. A soma de todas as amostras de y é igual a (Σx)·(Σh). Um filtro FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … é uma convolução com h[n] = bn.

Termos da soma

Só contribuem os k para os quais x[k] e h[n − k] existem.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Some

y[1] = −5

Resposta

y[1] = −5
Exemplo 2Média
x(t)t11h(t)t1

O pulso x(t) = 1 para 0 ≤ t < 1 s (zero fora disso) é aplicado a um sistema com h(t) = e−2tu(t). Encontre a saída y(2,5) em t = 2,5 s, depois que o pulso terminou.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Calcule y(2.5)

Mostrar dicas
  1. Escreva o pulso como um degrau em t = 0 menos um degrau em t = 1 s.
  2. A resposta ao degrau é (A/a)(1 − e−at).
  3. Depois do pulso: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Convolução contínua: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Inverta h, deslize-a até a posição t e integre o produto das partes sobrepostas. Para sinais causais a integral vai de 0 a t. Resultados úteis: a área de y é a área de x vezes a área de h; se x dura de t₁ a t₂ e h de t₃ a t₄, y dura de t₁ + t₃ a t₂ + t₄. Para h(t) = e−atu(t) e um degrau de altura A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Saída no fim do pulso

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Decaimento depois do pulso

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Resposta

y(2,5) = 0,02152
Exemplo 3Difícil
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Um sistema obedece a y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Encontre sua resposta ao impulso em t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Calcule h(0.05)

Mostrar dicas
  1. Tome as transformadas de Laplace com condições iniciais nulas: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resposta ao impulso e série de Fourier: a resposta ao impulso h(t) descreve completamente um sistema LIT: para y′ + a·y = b·x ela é h(t) = b·e−atu(t), e para y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ela é h[n] = b·aⁿu[n]. Uma senoide cos ωt passa com ganho |H(jω)| e fase ∠H(jω), onde H é a transformada de Fourier de h. Um sinal periódico é uma soma de harmônicos em k/T: uma onda quadrada de ±A tem apenas harmônicos ímpares com amplitudes 4A/(kπ), uma onda triangular de pico A tem 8A/(π²k²), e um trem de pulsos de altura A e ciclo de trabalho D tem a média A·D e os harmônicos (2A/(kπ))·|sen(kπD)|.

Função de transferência

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Resposta ao impulso

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Resposta

h(0,05) = 2,336

Perguntas e respostas

Convolução e sistemas LIT: o que é?

Um sistema linear invariante no tempo (LIT) é descrito completamente pela sua resposta ao impulso h: a saída que ele dá quando a entrada é um único impulso curto.

Qualquer entrada pode ser vista como uma fileira de impulsos multiplicados e deslocados. Cada impulso produz uma cópia multiplicada e deslocada de h, e a saída é a soma de todas as cópias. Essa soma é a convolução y = x ∗ h.

Convolução e sistemas LIT: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Esboce os dois sinais e marque onde cada um é não nulo.
  2. Inverta h e deslize-a: para cada instante de saída, encontre a faixa em que os dois sinais se sobrepõem.
  3. Multiplique e some (discreto) ou multiplique e integre (contínuo) somente sobre essa sobreposição.
  4. Confira o resultado: a saída começa na soma dos instantes iniciais, termina na soma dos instantes finais, e sua área ou soma é o produto das áreas ou somas das entradas.
Convolução e sistemas LIT: quais são os erros mais comuns?
  • Multiplicar os dois sinais amostra a amostra em vez de convoluí-los.
  • Deslocar h sem invertê-la, o que dá a correlação.
  • Usar uma fórmula da resposta ao degrau quando se pede a resposta ao impulso, ou o contrário.
  • Contar errado o número do harmônico: a componente em k/T é o harmônico k.
Convolução e sistemas LIT: o que se pratica?
  • Fácil: convolução discreta
  • Média: convolução contínua
  • Difícil: resposta ao impulso e série de Fourier

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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