Integrais: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: integral indefinida · integral definida · integração por partes

Exercícios grátis de Integrais com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: polinómios, exponenciais, logaritmos e substituição, áreas entre curvas.

Exercício gratuitoFácil
xy−2−1

Calcule I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
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O que você pratica

  1. Fácilpolinómios
  2. Médiaexponenciais, logaritmos e substituição
  3. Difíciláreas entre curvas

Como resolver exercícios de Integrais

  1. Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
  2. Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para ex, 1/x, sen e cos.
  3. Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
  4. Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Erros comuns

  • Esquecer de dividir pela nova potência.
  • Não mudar os limites de integração depois de uma substituição.
  • Esquecer o + C em uma integral indefinida.

Fórmulas principais

Regra da potência
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx

Aprenda Integrais do zero

Antes disso: Derivadas

1O que é uma integral

Uma integral soma uma grandeza que varia. A imagem mais clara é a de uma área sob um gráfico.

Um carro anda a 20 m/s durante 5 s. Ele percorre 20 · 5 = 100 m. Num gráfico velocidade–tempo, isso é a área do retângulo sob a reta.

xy520100

Quando a velocidade muda, a forma sob o gráfico é curva, mas a ideia é a mesma: a área é a distância.

Escrevemos a área sob f entre x = a e x = b assim:

∫ab f(x) dx

Os números a e b são os limites da integral. O dx indica que x é a variável.

Autoavaliação Um ciclista pedala a 10 m/s constantes durante 4 s. Qual é a área sob o gráfico velocidade–tempo?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Resposta: 40 m. A área é um retângulo: altura 10 m/s vezes largura 4 s dá 40 m. Dividir 10 por 4 dá 2,5, que não é uma área.

2Primitivas e a regra da potência

Integrar é derivar ao contrário. Uma primitiva F de f é uma função cuja derivada é f.

Como (x³)′ = 3x², uma primitiva de 3x² é x³. Qualquer constante pode ser somada, por isso escrevemos ∫3x² dx = x³ + C.

A regra da potência para integrais: aumente o expoente em um e depois divida pelo novo expoente.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Um fator constante fica na frente: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Uma constante sozinha: ∫4 dx = 4x + C.
  • Numa soma, integre cada termo separadamente.

Aprenda também estas: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x e ∫sin x dx = −cos x.

Você sempre pode conferir uma primitiva: derive-a, e você deve recuperar a função original.

Autoavaliação Quanto vale ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Resposta: 2x³ + C. Aumente o expoente para 3 e divida por 3: 6x³/3 = 2x³. 12x é a derivada, não a integral, e 6x³ esquece de dividir pelo novo expoente.

3Integrais definidas e áreas

Uma integral definida tem limites e dá um número. Encontre uma primitiva F e subtraia seus valores nos dois limites.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

A constante C se cancela na subtração, então aqui você pode omiti-la.

Exemplo: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, porque ln 1 = 0.

A substituição ajuda quando uma função está dentro de outra. Para e0,5x, faça u = 0,5x. O resultado é a regra acima: divida por 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

A área entre duas curvas é a integral da curva de cima menos a curva de baixo, entre os pontos em que elas se encontram.

Para y = 2x e y = x², as curvas se encontram em x = 0 e x = 2. Nesse intervalo, 2x está por cima.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Autoavaliação As curvas y = x e y = x² se encontram em x = 0 e x = 1. Entre elas, y = x está por cima. Qual é a área delimitada?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Resposta: 1/6. ∫(x − x²) dx de 0 a 1 é 1/2 − 1/3 = 1/6. Tomar embaixo menos em cima dá −1/6, e somar as duas integrais dá 5/6.

4O método passo a passo

  1. Reescreva a função como uma soma de termos simples. Escreva raízes e frações como potências: √x = x1/2.
  2. Encontre uma primitiva de cada termo com a regra da potência ou uma integral padrão.
  3. Confira rapidamente derivando de cabeça.
  4. Para uma integral definida, calcule F(b) e F(a) separadamente.
  5. Subtraia: F(b) − F(a). Cuidado com os sinais de menos quando a é negativo.

Para uma área entre curvas, primeiro resolva f(x) = g(x) para encontrar os limites, depois integre a curva de cima menos a de baixo.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Calcule I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Integre termo a termo

3x² dá 3x³/3 = x³. 2x dá 2x²/2 = x². A constante 1 dá x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Confira derivando

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Esta é a função original, então F está correta.

3

Valor no limite superior

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Valor no limite inferior

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Subtraia

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

A integral é a área sombreada sob a curva entre x = 0 e x = 2.

Resposta

I = 14

6Erros comuns

  • Esquecer de dividir pela nova potência.
  • Derivar em vez de integrar: diminuir o expoente em vez de aumentá-lo.
  • Escrever ∫1/x dx como x⁰/0. A regra da potência não funciona para n = −1; use ln|x|.
  • Esquecer os sinais de menos em F(a) quando a é negativo, por exemplo (−1)³ = −1.
  • Esquecer o + C numa integral indefinida, ou não mudar os limites depois de uma substituição.
Autoavaliação Quanto vale ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Resposta: 4. F(x) = x⁴/4, então F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Esquecer de dividir pelo novo expoente 4 dá 16.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: uma integral definida de um polinômio, às vezes com limites negativos. Use a regra da potência e F(b) − F(a).
  • Médio: exponenciais, logaritmos e substituição, como ∫e0,5x dx ou ∫3/x dx entre dois limites.
  • Difícil: a área delimitada por duas curvas, como y = x² e y = 4x. Encontre onde elas se encontram, depois integre a de cima menos a de baixo.

Uma verificação rápida: a área delimitada por duas curvas é sempre positiva. Se você obteve um número negativo, subtraiu na ordem errada.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
xy3y = 0,5x

A região sob y = 0,5x, de x = 0 até x = 3, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um cone).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Calcule V

Mostrar dicas
  1. Uma fatia em x é um disco de raio y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Método dos discos

V = π∫₀3 0,25x² dx

Integrar

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Resposta

V = 7,069

Verificação: um cone de raio 1,5 e altura 3 tem (1/3)πr²h = 7,069.

Exemplo 2Média
xy2y = x·cos x

Calcule I = ∫₀2 x·cos x dx (x em radianos).

∫₀2 x·cos x dx

Calcule I

Mostrar dicas
  1. Tome u = x e dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Escolha u e dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limites

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Resposta

I = 0,4024
Exemplo 3Difícil
xyy = 2x2​y = x

Calcule a área A da região limitada por y = 2x2 e y = x.

y = 2x2y = x

Calcule A

Mostrar dicas
  1. Encontre primeiro onde as curvas se cruzam: iguale-as.
  2. Cruzam-se em x = 0 e x = 0,5. Entre eles a reta fica acima da parábola.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Pontos de interseção

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Integrar superior menos inferior

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Resposta

A = 0,04167

Perguntas e respostas

Integrais: o que é?

Uma integral soma uma grandeza que varia. A imagem mais clara é a de uma área sob um gráfico.

Um carro anda a 20 m/s durante 5 s. Ele percorre 20 · 5 = 100 m. Num gráfico velocidade–tempo, isso é a área do retângulo sob a reta.

Integrais: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
  2. Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para ex, 1/x, sen e cos.
  3. Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
  4. Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).
Integrais: quais são os erros mais comuns?
  • Esquecer de dividir pela nova potência.
  • Não mudar os limites de integração depois de uma substituição.
  • Esquecer o + C em uma integral indefinida.
Integrais: o que se pratica?
  • Fácil: polinómios
  • Média: exponenciais, logaritmos e substituição
  • Difícil: áreas entre curvas

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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