Derivadas: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: cálculo de derivadas · regras de derivação · regra da cadeia

Exercícios grátis de Derivadas com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: regra da potência, regras da cadeia e do produto, tangentes e extremos.

Exercício gratuitoFácil
xyx = −2

Seja f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Calcule o declive do gráfico em x = −2, ou seja, f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Próximo exercício →
Pratique Derivadas de graçaPratique Derivadas agora5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.

O que você pratica

  1. Fácilregra da potência
  2. Médiaregras da cadeia e do produto
  3. Difíciltangentes e extremos

Como resolver exercícios de Derivadas

  1. Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
  2. Aplique a regra da potência a cada potência de x.
  3. Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
  4. Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Erros comuns

  • Esquecer a derivada interna na regra da cadeia.
  • Errar a ordem na regra do quociente.
  • Tratar um múltiplo constante como um produto.

Fórmulas principais

Regra da potência
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto
(uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Aprenda Derivadas do zero

Antes disso: Limites

1O que é uma derivada

Uma derivada mede a rapidez com que algo muda. Se a posição de um carro muda 50 km a cada hora, sua velocidade é 50 km/h: a taxa de variação da posição.

Em um gráfico, a derivada em um ponto é a inclinação da curva ali: quão íngreme ela sobe ou desce se você aproximar muito.

Essa inclinação é a inclinação da tangente, a reta que apenas toca a curva naquele ponto.

xy(1, 1)m = 2

Para y = x² a tangente em x = 1 tem inclinação 2. Escrevemos f′(1) = 2, lido “f linha de 1”.

  • Derivada positiva: o gráfico sobe.
  • Derivada negativa: o gráfico desce.
  • Derivada zero: o gráfico é horizontal ali, por exemplo em um topo ou em um fundo.
Autoavaliação Em um ponto onde o gráfico de f desce, a derivada é…
  1. indefinida
  2. negativa
  3. positiva
  4. zero

Resposta: negativa. A derivada é a inclinação. Um gráfico que desce da esquerda para a direita tem inclinação negativa.

2As regras básicas

Você não precisa de limites toda vez. Poucas regras cobrem a maioria das funções.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Esta é a regra da potência: traga o expoente para a frente e diminua o expoente em um. Então (x³)′ = 3x² e (x)′ = 1.

  • Uma constante sozinha tem derivada 0: ela não muda.
  • Um fator constante permanece: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Em uma soma, derive cada termo separadamente.

Aprenda também: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x e (cos x)′ = −sin x.

Autoavaliação Qual é a derivada de 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Resposta: 12x² − 2. Regra da potência em cada termo: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 e a constante 7 dá 0.

3Regras do produto e da cadeia

Mais duas regras tratam de funções construídas a partir de outras funções.

Regra do produto, para duas funções multiplicadas:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Regra da cadeia, para uma função dentro de outra: derive a função de fora, mantenha a de dentro como está e multiplique pela derivada da de dentro.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

A regra do quociente decorre dessas duas: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Autoavaliação Qual é a derivada de (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Resposta: 6(2x + 5)². Fora: 3(2x + 5)². Dentro: (2x + 5)′ = 2. Multiplique: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Esquecer o 2 de dentro é o deslize clássico.

4O método passo a passo

  1. Observe a estrutura: uma soma de termos, um produto, um quociente ou uma função dentro de outra.
  2. Reescreva primeiro raízes e frações como potências: √x = x1/2 e 1/x² = x−2.
  3. Aplique as regras de fora para dentro, uma parte de cada vez.
  4. Simplifique o resultado.
  5. Se um valor for pedido, substitua o número somente no final.

Para achar um topo ou um fundo de um gráfico (um extremo), resolva f′(x) = 0. A segunda derivada diz qual deles é: f″ < 0 é um máximo, f″ > 0 um mínimo.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Seja f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Encontre a inclinação em x = 0 e o máximo e o mínimo locais.

1

Derivar termo a termo

Use a regra da potência em cada termo. A constante 1 desaparece.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

A inclinação em x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Então a tangente em x = 0 sobe 9 unidades para cada unidade à direita.

3

Igualar a derivada a zero

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Qual é o máximo?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 é negativa, então x = 1 é um máximo. f″(3) = 6 é positiva, então x = 3 é um mínimo.

5

Encontre os valores

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

O gráfico confirma: horizontal nos dois pontos, um topo em (1, 5) e um fundo em (3, 1).

Resposta

f′(0) = 9. Máximo local em (1, 5), mínimo local em (3, 1).

6Erros comuns

  • Esquecer a derivada da função de dentro na regra da cadeia.
  • Escrever (u · v)′ = u′ · v′. A regra do produto tem dois termos.
  • Errar a ordem na regra do quociente: em cima é u′v − uv′, com um sinal de menos.
  • Substituir o número antes de derivar. Derive primeiro e depois substitua.
  • Tratar um múltiplo constante como 5x³ como um produto. É mais simples: o 5 apenas permanece.
Autoavaliação Qual é a derivada de √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Resposta: 1/(2√x). √x = x1/2, então a derivada é ½x−1/2 = 1/(2√x). Reescrever a raiz como potência primeiro facilita tudo.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: um polinômio. Use a regra da potência e encontre a inclinação em um dado x.
  • Médio: a regra da cadeia ou do produto, por exemplo (2x + 5)⁵ ou x²·e−x, calculada em um ponto.
  • Difícil: tangentes e extremos. Resolva f′(x) = 0 e decida qual ponto é o máximo.

Uma verificação rápida para questões de inclinação: imagine o gráfico. Se ele sobe ali, sua resposta deve ser positiva.

Aprenda passo a passo no aplicativoAprenda passo a passo no aplicativo

Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
xyx = 1

Seja f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Calcule o declive do gráfico em x = 1, ou seja, f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Calcule f′(1)

Mostrar dicas
  1. Derive termo a termo com a regra da potência (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Uma constante desaparece.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Agora substitua x = 1.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Derivar termo a termo

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Substituir

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Resposta

f′(1) = −6
Exemplo 2Média
xyx = 1

Seja f(x) = x3·e−x. Calcule f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calcule f′(1)

Mostrar dicas
  1. Regra do produto com u = x3 e v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Substituir

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Resposta

f′(1) = 0,7358
Exemplo 3Difícil
xy

Seja f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Calcule x

Mostrar dicas
  1. Num máximo ou mínimo local a derivada é zero.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Numa cúbica com termo x³ positivo, o máximo vem primeiro (x menor) e o mínimo depois.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Derivada

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Resolver f′(x) = 0

x = 3 ou x = 6

Qual é qual

f″(x) = 6x − 27: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Resposta

x = 6

Perguntas e respostas

Derivadas: o que é?

Uma derivada mede a rapidez com que algo muda. Se a posição de um carro muda 50 km a cada hora, sua velocidade é 50 km/h: a taxa de variação da posição.

Em um gráfico, a derivada em um ponto é a inclinação da curva ali: quão íngreme ela sobe ou desce se você aproximar muito.

Derivadas: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
  2. Aplique a regra da potência a cada potência de x.
  3. Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
  4. Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.
Derivadas: quais são os erros mais comuns?
  • Esquecer a derivada interna na regra da cadeia.
  • Errar a ordem na regra do quociente.
  • Tratar um múltiplo constante como um produto.
Derivadas: o que se pratica?
  • Fácil: regra da potência
  • Média: regras da cadeia e do produto
  • Difícil: tangentes e extremos

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

Temas antes e depois deste

Estude antes

Limites

Depois continue com

IntegraisCálculo de várias variáveisMétodos numéricosEquações diferenciaisOtimizaçãoSequências e séries

Calculadoras

Calculadora de derivadas com passo a passo

Disciplinas com este tópico

Cálculo 1Matemática para EngenhariaEquações DiferenciaisExercícios para o AP Calculus

Mais temas de Matemática e estatística

LimitesOtimizaçãoIntegraisSequências e sériesCálculo de várias variáveisEquações diferenciaisNúmeros complexosMétodos numéricosMatrizes e determinantesVetores: produto escalar e vetorialLógica proposicional e demonstraçõesConjuntos, relações e funçõesTeoria dos grafosTeoria dos números e aritmética modularProbabilidadesEstatística descritivaDistribuição normalIntervalos de confiançaTestes de hipóteses e intervalos de confiançaRegressão linear e correlaçãoTestes qui-quadrado

Lista de exercícios para imprimir

Lista de exercícios de Derivadas com respostas
Pratique Derivadas de graçaPratique Derivadas agora5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.