Cálculo de várias variáveis: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Cálculo de várias variáveis com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: derivadas parciais e integrais duplas, gradiente, plano tangente e regra da cadeia, pontos críticos e integrais sobre regiões.

Exercício gratuitoFácil
xy3−3P

Para f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, encontre a derivada parcial ∂f/∂x no ponto (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
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O que você pratica

  1. Fácilderivadas parciais e integrais duplas
  2. Médiagradiente, plano tangente e regra da cadeia
  3. Difícilpontos críticos e integrais sobre regiões

Como resolver exercícios de Cálculo de várias variáveis

  1. Para uma derivada parcial, trate a outra variável como constante e use as regras de uma variável.
  2. Para questões de gradiente calcule ∇f = (fx, fy) no ponto; use |∇f| para a maior inclinação e ∇f·u com um vetor unitário u para uma derivada direcional.
  3. Para extremos resolva fx = 0 e fy = 0 juntos e depois classifique cada ponto com D = fxx·fyy − fxy².
  4. Para uma integral dupla esboce a região, escolha a ordem (ou coordenadas polares para discos) de modo que os limites internos sejam as curvas de contorno, e integre primeiro por dentro.

Erros comuns

  • Derivar a variável que deveria ser mantida constante.
  • Esquecer de normalizar o vetor de direção.
  • Escrever D = fxx·fyy + fxy² ou chamar de extremo um ponto com D < 0.
  • Usar limites internos constantes para uma região limitada por curvas.
  • Deixar de fora o fator r em dA = r dr dθ.

Fórmulas principais

Derivadas parciais
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivada direcional
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regra da cadeia
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Teste da segunda derivada
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral dupla
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Aprenda Cálculo de várias variáveis do zero

Antes disso: Derivadas, Integrais

1Derivadas parciais

Uma função de duas variáveis, z = f(x, y), é uma superfície acima do plano xy. Num mapa ela é desenhada com curvas de nível, linhas em que f tem o mesmo valor.

Uma derivada parcial mede a inclinação numa direção. Para ∂f/∂x (também escrita fx) você mantém y constante e deriva em relação a x, usando as regras ordinárias.

Exemplo: f(x, y) = x²y + 3y². Trate y como um número para fx e x como um número para fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

Em (1, 2) isso dá fx = 4 e fy = 1 + 12 = 13.

Derivar de novo dá as derivadas parciais segundas fxx, fyy e fxy. A ordem da derivada mista não importa: fxy = fyx. Aqui fxy = 2x.

Autoavaliação Quanto é ∂f/∂y para f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Resposta: 2x³y. Mantenha x constante: x³ é um fator constante, e y² dá 2y, então fy = 2x³y. 3x²y² é ∂f/∂x.

2Gradiente e derivada direcional

O gradiente reúne as duas derivadas parciais: ∇f = (fx, fy). Ele aponta na direção em que f cresce mais depressa, em ângulo reto com a curva de nível.

xy∇fP

A maior inclinação em si é o comprimento |∇f| = √(fx² + fy²).

A inclinação em qualquer outra direção v é a derivada direcional. Primeiro transforme v em um vetor unitário u = v/|v| e depois tome o produto escalar:

Duf = ∇f·u

Para f = x²y + 3y² em (1, 2): ∇f = (4, 13). Na direção v = (3, 4), u = (0,6; 0,8), então Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Autoavaliação Num ponto ∇f = (3, 4). Qual é a maior taxa de crescimento de f ali?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Resposta: 5. É |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Somar as componentes dá 7, e esquecer a raiz quadrada dá 25.

3Plano tangente e regra da cadeia

Perto de um ponto (a, b) a superfície é quase plana. O plano tangente é

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Ele dá a aproximação linear f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Exemplo: f = x²y + 3y² tem f(1, 2) = 14, então perto de (1, 2): f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. O valor exato é 13,129.

Quando x e y dependem ambos de t, a regra da cadeia soma os dois caminhos: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Pontos críticos

Em um máximo, um mínimo ou um ponto de sela a superfície é plana: fx = 0 e fy = 0. Esses pontos são os pontos críticos.

O teste da segunda derivada usa D = fxxfyy − fxy² no ponto:

  • D > 0 e fxx > 0: mínimo local.
  • D > 0 e fxx < 0: máximo local.
  • D < 0: ponto de sela, sobe numa direção e desce em outra.
  • D = 0: o teste não decide nada.
Exemplo resolvido

Encontre e classifique os pontos críticos de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Iguale as duas derivadas parciais a zero

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Os pontos críticos são (1, 2) e (−1, 2).

2

Derivadas segundas

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Teste (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 e fxx = 6 > 0: um mínimo local, com f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Teste (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: um ponto de sela.

Resposta

Mínimo local em (1, 2) com f = −6; ponto de sela em (−1, 2).

5Integrais duplas

Uma integral dupla ∬R f dA soma f sobre uma região R; para f = 1 ela é a área de R. Calcule-a como duas integrais simples, a de dentro primeiro.

Sobre um retângulo os limites são números: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. A integral interna dá x + 1, e ∫02 (x + 1) dx = 4.

Sobre uma região geral, os limites internos são as curvas que a delimitam. Para a região entre y = x² e y = 2x, y vai de x² até 2x, e x de 0 a 2.

xyy = 2xy = x²2
Área = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Para discos e setores use coordenadas polares: x² + y² = r² e dA = r dr dθ. Sobre o disco r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Autoavaliação Em coordenadas polares, no que se transforma dA?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Resposta: r dr dθ. Um pequeno elemento polar tem largura Δr e comprimento r·Δθ, então dA = r dr dθ. Esquecer o fator r é o erro mais comum.

6Erros comuns e questões de prova

  • Derivar também a variável “constante” numa derivada parcial.
  • Usar v em vez do vetor unitário u numa derivada direcional.
  • Escrever D = fxxfyy + fxy², ou classificar um ponto com D < 0 como um extremo.
  • Usar números como limites internos quando a região é limitada por curvas.
  • Esquecer o fator r em coordenadas polares.

Fácil: derivadas parciais num ponto e integrais sobre retângulos. Médio: gradiente, derivada direcional, plano tangente e regra da cadeia. Difícil: classificar pontos críticos e integrais sobre regiões curvas, em coordenadas polares ou com a ordem invertida.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
xy−1−3P

Para f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, encontre a derivada parcial ∂f/∂x no ponto (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Calcule fx(−1, −3)

Mostrar dicas
  1. Trate y como um número constante e derive em relação a x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Substitua x = −1 e y = −3.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Derivadas parciais: ∂f/∂x é a derivada ordinária em relação a x enquanto y é mantido constante (trate y como um número), e ∂f/∂y o contrário. As regras (potência, produto, cadeia) são as mesmas de uma variável. As derivadas segundas mistas dão o mesmo resultado em qualquer ordem: fxy = fyx. Uma integral dupla sobre um retângulo é calculada como duas integrais simples, a de dentro primeiro: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Derive

y é mantido constante.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Substituir

fx(−1, −3) = −4

Resposta

fx(−1, −3) = −4
Exemplo 2Média

z = 2x²e3y com x = −t − 2 e y = t² + 2. Use a regra da cadeia para encontrar dz/dt em t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Calcule dz/dt

Mostrar dicas
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Em t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Gradiente: ∇f = (fx, fy) aponta na direção de maior crescimento, e |∇f| é a maior taxa de variação. A derivada direcional ao longo de uma direção v é Duf = ∇f·u com o vetor unitário u = v/|v|. O plano tangente em (a, b) é z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ele dá a aproximação linear de f perto desse ponto. Regra da cadeia: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Ponto e taxas

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Derivadas parciais

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Regra da cadeia

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Resposta

dz/dt = 3227
Exemplo 3Difícil
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy tem um ponto crítico em (1, 1). Calcule ali o discriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Calcule D

Mostrar dicas
  1. Encontre as três derivadas segundas fxx, fyy e fxy.
  2. No ponto: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Pontos críticos e integrais duplas: um ponto crítico tem fx = fy = 0. Teste da segunda derivada com D = fxxfyy − fxy²: D > 0 e fxx > 0 é um mínimo local, D > 0 e fxx < 0 um máximo local, D < 0 um ponto de sela, e D = 0 não decide nada. Para uma integral dupla sobre uma região geral, faça dos limites internos as curvas que delimitam a região; para discos e setores use coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (não esqueça o fator r).

Derivadas segundas

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Discriminante

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ mínimo local

Resposta

D = 27

Perguntas e respostas

Cálculo de várias variáveis: o que é?

Uma função de duas variáveis, z = f(x, y), é uma superfície acima do plano xy. Num mapa ela é desenhada com curvas de nível, linhas em que f tem o mesmo valor.

Uma derivada parcial mede a inclinação numa direção. Para ∂f/∂x (também escrita fx) você mantém y constante e deriva em relação a x, usando as regras ordinárias.

Cálculo de várias variáveis: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Para uma derivada parcial, trate a outra variável como constante e use as regras de uma variável.
  2. Para questões de gradiente calcule ∇f = (fx, fy) no ponto; use |∇f| para a maior inclinação e ∇f·u com um vetor unitário u para uma derivada direcional.
  3. Para extremos resolva fx = 0 e fy = 0 juntos e depois classifique cada ponto com D = fxx·fyy − fxy².
  4. Para uma integral dupla esboce a região, escolha a ordem (ou coordenadas polares para discos) de modo que os limites internos sejam as curvas de contorno, e integre primeiro por dentro.
Cálculo de várias variáveis: quais são os erros mais comuns?
  • Derivar a variável que deveria ser mantida constante.
  • Esquecer de normalizar o vetor de direção.
  • Escrever D = fxx·fyy + fxy² ou chamar de extremo um ponto com D < 0.
  • Usar limites internos constantes para uma região limitada por curvas.
  • Deixar de fora o fator r em dA = r dr dθ.
Cálculo de várias variáveis: o que se pratica?
  • Fácil: derivadas parciais e integrais duplas
  • Média: gradiente, plano tangente e regra da cadeia
  • Difícil: pontos críticos e integrais sobre regiões

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

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