Números complexos: exercícios com soluções passo a passo
Exercícios grátis de Números complexos com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: aritmética na forma retangular, forma polar e exponencial, De Moivre, raízes e equações.
Exercício gratuitoFácil
Para z₁ = 1 + j4 e z₂ = 5 + j6, encontre a parte imaginária de w = 2z₁ + 5z̄₂.
A equação x² = −1 não tem solução real. Os engenheiros acrescentam um novo número j com j² = −1. Os matemáticos escrevem i; na engenharia usa-se j porque i já significa corrente.
Um número complexo tem a forma z = a + jb. O número a é a parte real e b é a parte imaginária: Re(z) = a e Im(z) = b.
Você pode desenhar z como o ponto (a, b) no plano de Argand: a parte real ao longo do eixo horizontal, a parte imaginária ao longo do vertical.
A distância até a origem é o módulo |z| = √(a² + b²). O ângulo a partir do eixo real positivo é o argumento θ. A imagem especular em relação ao eixo real, z̄ = a − jb, é o conjugado.
Autoavaliação Qual é o módulo de z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Resposta: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Somar 3 e 4 dá 7, e esquecer a raiz quadrada dá 25.
2Somando, multiplicando e dividindo
Somar e subtrair parte a parte: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Resposta: 2. É um número vezes o seu conjugado: 1² + 1² = 2. Escrever 1 − j² como 1 − 1 = 0 esquece que j² = −1, então −j² = +1.
3Forma polar e exponencial
Um ponto também pode ser dado pela sua distância e pelo seu ângulo: z = r∠θ, com r = |z| e θ = arg z. De volta à forma retangular com a = r cos θ e b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
A última forma usa a fórmula de Euler ejθ = cos θ + j sin θ. Na forma exponencial θ deve estar em radianos.
Atenção ao quadrante. Uma calculadora dá atan(b/a) entre −90° e 90°. Se a < 0 o ponto está à esquerda, então some ou subtraia 180°.
Exemplo: z = −2 + j2. Então r = √8 = 2,828. O ângulo de referência é atan(2/2) = 45°, e o ponto está no segundo quadrante, então θ = 180° − 45° = 135°.
Autoavaliação Qual é o argumento de z = −1 − j, entre −180° e 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Resposta: −135°. O ponto está no terceiro quadrante. O ângulo de referência é 45°, então θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° aponta para o quadrante oposto.
4Multiplicação na forma polar, potências e raízes
Na forma polar a multiplicação é fácil: multiplique os módulos e some os argumentos. Para a divisão, divida os módulos e subtraia os argumentos.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Repetindo isso obtém-se o teorema de De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
A equação zⁿ = R∠φ tem exatamente n raízes. Todas têm módulo R1/n e argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1.
Para z³ = 8 = 8∠0°: o módulo é 2 e os argumentos são 0°, 120° e 240° (isto é, −120°). As raízes formam um triângulo regular sobre a circunferência.
Uma equação quadrática z² + pz + q = 0 com p² < 4q tem as raízes complexas −p/2 ± j√(q − p²/4). Polinômios reais sempre têm suas raízes complexas em pares conjugados.
5Um exemplo resolvido
Potências de números como 1 + j são muito mais rápidas na forma polar do que multiplicando.
Exemplo resolvido
Calcule (1 + j)6 com o teorema de De Moivre.
1
Escreva 1 + j na forma polar
r = √(1² + 1²) = √2. O ponto está no primeiro quadrante, então θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Aplique De Moivre
Eleve o módulo à potência 6 e multiplique o ângulo por 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Leve o ângulo para o intervalo
270° é a mesma direção que −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
De volta à forma retangular
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Resposta
(1 + j)6 = −j8: parte real 0, parte imaginária −8.
6Erros comuns e questões de prova
Esquecer que j² = −1 ao multiplicar, de modo que um termo fica com o sinal errado.
Dividir parte a parte: (a + jb)/(c + jd) não é a/c + jb/d. Use o conjugado.
Tomar atan(b/a) como o argumento quando a < 0. Esboce primeiro o ponto.
Usar graus em ejθ, ou deixar a calculadora em radianos para r∠θ dado em graus.
Em De Moivre: esquecer de elevar o módulo à potência, ou dar apenas uma raiz de zⁿ = w.
As questões fáceis pedem uma parte de um produto, quociente ou soma. As médias convertem entre a forma retangular, polar e exponencial. As difíceis usam De Moivre, as raízes n-ésimas e equações polinomiais.
Autoavaliação z₁ = 2∠30° e z₂ = 4∠50°. Quanto é z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Resposta: 8∠80°. Multiplique os módulos (2·4 = 8) e some os argumentos (30° + 50° = 80°). Somar os módulos dá 6, e multiplicar os ângulos não faz sentido.
Para z₁ = −7 + j e z₂ = 4 + j2, encontre a parte real do produto z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Calcule Re(z₁z₂)
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Multiplique os parênteses como em (a + b)(c + d), obtendo quatro termos.
Substitua j² por −1 para que um dos quatro termos se torne real.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Números complexos: z = a + jb tem parte real a e parte imaginária b, com j² = −1 (os matemáticos escrevem i). Some e subtraia parte a parte; multiplique os parênteses e substitua j² por −1; divida multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, z̄ = a − jb, porque z·z̄ = a² + b² é real. No plano de Argand, z é o ponto (a, b): sua distância à origem é o módulo |z| = √(a² + b²), e o ângulo a partir do eixo real positivo é o argumento θ.
Escreva z = 4∠160° na forma retangular a + jb e dê a parte imaginária b.
r = 4θ = 160°
Calcule b
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a = r·cos θ e b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Multiplique por r = 4.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Forma polar: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, com r = |z| e θ = arg z. De volta à forma retangular: a = r cos θ, b = r sin θ. O argumento exige o quadrante: θ = atan(b/a) somente quando a > 0; para a < 0 some ou subtraia 180°. Na forma polar a multiplicação é fácil: multiplique os módulos e some os argumentos; para a divisão, divida os módulos e subtraia os argumentos.
Componentes
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Forma retangular
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Resposta
b = 1,368
Exemplo 3Difícil
As raízes de zⁿ = w com n = 4 e w = 16∠−60° são zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Encontre a parte real de z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Calcule Re(z₂)
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Toda raiz tem módulo R1/n = 161/4 = 2.
O argumento de z₂ é (φ + 360°·k)/n com φ = −60°, k = 2 e n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
De Moivre e raízes: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. A equação zⁿ = R∠φ tem exatamente n raízes, todas com módulo R1/n, nos argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1: elas ficam igualmente espaçadas sobre uma circunferência, a 360°/n uma da outra. Uma equação quadrática z² + pz + q = 0 com p² < 4q tem as raízes complexas z = −p/2 ± j√(q − p²/4); um polinômio com coeficientes reais sempre tem suas raízes complexas em pares conjugados a ± jb.
Módulo das raízes
161/4 = 2
Argumento da raiz
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Forma retangular
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Resposta
Re(z₂) = −1,932
As 4 raízes ficam sobre a circunferência de raio 2, separadas por 90°.
Perguntas e respostas
Números complexos: o que é?
A equação x² = −1 não tem solução real. Os engenheiros acrescentam um novo número j com j² = −1. Os matemáticos escrevem i; na engenharia usa-se j porque i já significa corrente.
Um número complexo tem a forma z = a + jb. O número a é a parte real e b é a parte imaginária: Re(z) = a e Im(z) = b.
Números complexos: como resolver os exercícios passo a passo?
Decida qual forma convém à operação: retangular a + jb para somar e subtrair, polar r∠θ para multiplicar, dividir, potências e raízes.
Multiplique com j² = −1; divida multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Converta com r = √(a² + b²) e θ a partir de um esboço do ponto (verifique o quadrante), e de volta com a = r cos θ, b = r sin θ.
Para potências use De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; para zⁿ = R∠φ liste todas as n raízes R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Números complexos: quais são os erros mais comuns?
Tratar j² como +1 ao multiplicar.
Dividir separadamente as partes real e imaginária.
Tomar atan(b/a) como o argumento de um ponto no semiplano esquerdo.
Misturar graus e radianos, especialmente em ejθ.
Dar apenas uma raiz de zⁿ = w, ou esquecer de tirar a raiz n-ésima do módulo.
Números complexos: o que se pratica?
Fácil: aritmética na forma retangular
Média: forma polar e exponencial
Difícil: De Moivre, raízes e equações
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.