Testes qui-quadrado: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: teste qui-quadrado · teste χ²
Exercícios grátis de Testes qui-quadrado com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: aderência, teste de independência, decisão pelo valor crítico.
Exercício gratuitoFácil
Um fabricante de balas afirma as proporções de cores mostradas na tabela. Uma amostra aleatória de 200 balas dá as frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado de aderência χ² para H₀: as proporções afirmadas estão corretas.
Um teste qui-quadrado (χ²) compara contagens. Ele pergunta se as contagens observadas diferem das esperadas mais do que o acaso explicaria.
Exemplo: você lança um dado 60 vezes. Se ele for honesto, cada face deve sair cerca de 60 · 1/6 = 10 vezes. Essas são as contagens esperadas E.
Você observa 8, 12, 9, 11, 6 e 14. Essas são as contagens observadas O. Elas nunca são exatamente 10, mesmo com um dado honesto. A questão é se estão longe demais.
Como em todo teste de hipóteses, H₀ diz que nada de especial está acontecendo: o dado é honesto, ou duas variáveis são independentes.
Autoavaliação Um dado é lançado 120 vezes para testar se é honesto. Qual é a contagem esperada para cada face?
1/6
120
20
6
Resposta: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. A probabilidade 1/6 não é uma contagem; é preciso multiplicá-la pelo número de lançamentos.
2A estatística de teste
Para cada categoria, tome a diferença O − E, eleve-a ao quadrado e divida por E. Depois some sobre todas as categorias:
χ² = Σ (O − E)² / E
Elevar ao quadrado torna todos os termos positivos. Dividir por E faz uma diferença de 4 pesar mais quando se esperavam só 10 do que quando se esperavam 1000.
Os graus de liberdade deste teste de aderência são gl = k − 1, em que k é o número de categorias. Seis faces dão gl = 5.
Um χ² grande significa que os dados se ajustam mal a H₀. Rejeite H₀ se χ² for maior que o valor crítico da tabela. Em α = 0,05:
gl 1: 3,841, gl 2: 5,991, gl 3: 7,815
gl 4: 9,488, gl 5: 11,070, gl 6: 12,592
Para o dado, 4,2 está abaixo de 11,070, então não há evidência de que ele seja viciado.
Autoavaliação Uma categoria tem O = 14 e E = 10. O que ela acrescenta a χ²?
0,4
1,6
16
4
Resposta: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Esquecer de elevar ao quadrado dá 0,4, e esquecer de dividir por E dá 16.
3O teste de independência
Uma tabela de contingência conta os casos segundo duas variáveis ao mesmo tempo, como tratamento (linhas) e resultado (colunas). H₀: as duas variáveis são independentes.
Se elas são independentes, a contagem esperada em cada célula decorre dos totais:
E = total da linha × total da coluna / total geral
Então χ² é calculado com a mesma fórmula de antes, sobre todas as células da tabela, sem os totais.
df = (r − 1)(c − 1)
Aqui r é o número de linhas e c o número de colunas, sem contar os totais. Uma tabela 2×2 tem gl = 1.
Autoavaliação Numa tabela com total geral 120, uma célula tem total de linha 40 e total de coluna 30. Qual é a sua contagem esperada?
10
1200
3
70
Resposta: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 esquece de dividir pelo total geral.
4O método passo a passo
Enuncie H₀: as proporções declaradas estão certas (aderência) ou as variáveis são independentes.
Calcule todas as contagens esperadas: E = n · p, ou total da linha × total da coluna / total geral.
Para cada célula, calcule (O − E)²/E. Some tudo para obter χ².
Encontre gl: k − 1 para aderência, (r − 1)(c − 1) para independência.
Procure o valor crítico para esse gl em α = 0,05.
Rejeite H₀ se χ² for maior que o valor crítico. Enuncie a conclusão em palavras.
Verifique: as contagens esperadas de cada linha e coluna somam os mesmos totais que as contagens observadas.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Em um ensaio, 120 pacientes recebem um novo medicamento (linha A) e 100 recebem placebo (linha B). A coluna 1 conta os pacientes que melhoraram, a coluna 2 os que não melhoraram. Teste em α = 0,05 se o resultado é independente do tratamento.
1
Leia a tabela
Totais das linhas: 120 e 100. Totais das colunas: 110 e 110. Total geral: 220.
Um dado é lançado 300 vezes para testar se é honesto. As frequências de cada face são mostradas. Calcule a estatística qui-quadrado de aderência χ² para H₀: cada face tem probabilidade 1/6.
n = 300k = 6
Calcule χ²
Mostrar dicas
Frequências esperadas sob H₀: E = n·p para cada categoria.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Some (O − E)²/E em todas as categorias.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
gl = 5. Para α = 0,05 o valor crítico é 11,070, então H₀ é não rejeitada.
Exemplo 2Média
A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.
N = 1802 × 2
Calcule χ²
Mostrar dicas
Frequência esperada de cada célula: E = total da linha × total da coluna / total geral.
E = 32, 48 | 40, 60.
Some (O − E)²/E em todas as 4 células.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
gl = 1. Para α = 0,05 o valor crítico é 3,841, então H₀ (independência) é não rejeitada.
Exemplo 3Difícil
É feito um teste qui-quadrado de independência em uma tabela de contingência com 2 linhas e 6 colunas (sem contar os totais). Quantos graus de liberdade df o teste tem?
2 × 6
Calcule df
Mostrar dicas
Os graus de liberdade contam quantas células podem variar livremente depois que os totais (e eventuais parâmetros estimados) estão fixados.
Aderência: k − 1, menos um para cada parâmetro estimado.
Independência: (r − 1)(c − 1).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
Graus de liberdade
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Resposta
df = 5
Perguntas e respostas
Testes qui-quadrado: o que é?
Um teste qui-quadrado (χ²) compara contagens. Ele pergunta se as contagens observadas diferem das esperadas mais do que o acaso explicaria.
Exemplo: você lança um dado 60 vezes. Se ele for honesto, cada face deve sair cerca de 60 · 1/6 = 10 vezes. Essas são as contagens esperadas E.
Testes qui-quadrado: como resolver os exercícios passo a passo?
Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.
Testes qui-quadrado: quais são os erros mais comuns?
Divida cada diferença ao quadrado pela frequência esperada E, e não pela frequência observada O.
Divida cada diferença ao quadrado pela sua própria frequência esperada E antes de somar, e não o total por n.
As frequências esperadas vêm das margens, e não de distribuir o total igualmente: E = total da linha × total da coluna / total geral.
Testes qui-quadrado: o que se pratica?
Fácil: aderência
Média: teste de independência
Difícil: decisão pelo valor crítico
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.