Sequências e séries: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Sequências e séries com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: séries aritméticas e geométricas, convergência e séries de potências, polinômios de Taylor e Maclaurin.

Exercício gratuitoFácil
kak​12345678

Encontre a soma S8 dos primeiros 8 termos da sequência geométrica 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
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O que você pratica

  1. Fácilséries aritméticas e geométricas
  2. Médiaconvergência e séries de potências
  3. Difícilpolinômios de Taylor e Maclaurin

Como resolver exercícios de Sequências e séries

  1. Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
  2. Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
  3. Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
  4. Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Erros comuns

  • Usar n em vez de n − 1 em aₙ = a₁ + (n − 1)d ou a₁rⁿ⁻¹.
  • Usar a fórmula da soma infinita quando |r| ≥ 1, ou com o primeiro termo errado.
  • Concluir a convergência apenas porque os termos tendem a 0.
  • Inverter o limite do teste da razão: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, e não o seu inverso.
  • Esquecer os fatoriais ou os sinais alternados num polinômio de Taylor.

Fórmulas principais

Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Aprenda Sequências e séries do zero

Antes disso: Limites, Derivadas

1Sequências aritméticas e geométricas

Uma sequência é uma lista de números a₁, a₂, a₃, … e uma série é a sua soma. Dois tipos aparecem em toda prova.

Uma sequência aritmética soma a mesma diferença d a cada passo: 3, 7, 11, 15, … tem d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Para 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 e S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Note o n − 1: do primeiro ao 20º termo há apenas 19 passos.

Uma sequência geométrica multiplica pela mesma razão r a cada passo: 2, 6, 18, … tem r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Autoavaliação Qual é o 10º termo de 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Resposta: 32. d = 3, então a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Usar 10·3 em vez de 9·3 dá 35.

2Série geométrica infinita

Continue somando os termos de 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … e a soma se aproxima de 4 sem nunca ultrapassá-lo.

nSₙ4123456789233,5

Quando |r| < 1, o termo rⁿ em Sₙ diminui até 0, e a soma infinita existe:

S = a₁/(1 − r), somente para |r| < 1

Aqui a₁ é o primeiro termo da soma. Para Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ o primeiro termo é 8·(1/2)² = 2, então S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Quando |r| ≥ 1, os termos não diminuem e a série não tem soma: ela diverge.

Autoavaliação Quanto é Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Resposta: 4. O primeiro termo (k = 0) é 3 e r = 1/4, então S = 3/(1 − 1/4) = 4. Usar 1 + r no denominador dá 2,4.

3Uma série converge?

A maioria das séries não tem uma fórmula simples para a soma, mas ainda é possível decidir se a soma é finita. Use os testes nesta ordem:

  1. Teste do n-ésimo termo: se os termos não tendem a 0, a série diverge. Σ k/(k + 1) diverge porque seus termos tendem a 1.
  2. Séries padrão: Σ1/kᵖ converge somente para p > 1 (portanto Σ1/k, a série harmônica, diverge). Σrᵏ converge somente para |r| < 1.
  3. Comparação: 1/(k² + 3) é menor que 1/k², portanto Σ1/(k² + 3) também converge.
  4. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não dá resposta. Use-o para fatoriais e potências k-ésimas.
  5. Série alternada: Σ(−1)ᵏ/k converge, porque os termos alternam de sinal e decrescem até 0.

Exemplo: para Σ k/2ᵏ a razão é ((k + 1)/k)·(1/2), que tende a L = 1/2 < 1, então converge.

Autoavaliação Qual destas séries diverge?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Resposta: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 é uma série-p com p = 1/2 ≤ 1, então diverge. 1/k² tem p = 2, (2/3)ᵏ é geométrica com r < 1, e o teste da razão dá L = 0 para 3ᵏ/k!.

4Séries de potências e raio de convergência

Uma série de potências Σ ck(x − x₀)ᵏ é um polinômio sem fim. Ela converge para x suficientemente próximo do centro x₀.

O teste da razão aplicado ao termo inteiro dá o raio de convergência R: a série converge para |x − x₀| < R e diverge para |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Exemplo: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) tem ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, que tende a 3. Portanto R = 3 e a série converge para −3 < x < 3.

Nos dois extremos o teste não dá resposta; verifique-os separadamente se a questão pedir o intervalo completo.

5polinômios de Taylor e Maclaurin

Perto de um ponto a, uma função suave parece um polinômio. O polinômio de Taylor de grau n coincide com o valor e as n primeiras derivadas em a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Para a = 0 ele se chama polinômio de Maclaurin. Decore estas séries:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Quanto mais termos você toma, por mais tempo o polinômio permanece próximo da função.

Exemplo resolvido

Aproxime e0,5 com o polinômio de Maclaurin de grau 3 e limite o erro.

1

Escreva o polinômio

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Substitua x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Cota de erro de Lagrange

O erro é no máximo M·|x|⁴/4!, em que M é o maior valor da 4ª derivada eᵗ entre 0 e 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Compare

A calculadora dá e0,5 = 1,648721, então o erro verdadeiro é 0,0029, dentro da cota.

Resposta

e0,5 ≈ 1,6458, com um erro de no máximo 0,0043.

6Erros comuns e questões de prova

  • Usar n em vez de n − 1 passos para o n-ésimo termo.
  • Escrever a/(1 − r) com o primeiro termo errado quando a soma não começa em k = 0.
  • Concluir que uma série converge porque seus termos tendem a 0. Σ1/k é o contraexemplo.
  • Esquecer os fatoriais num polinômio de Taylor, ou os sinais de menos de sin e cos.
  • Usar |x|ⁿ/n! em vez de |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! na cota de erro.

Fácil: somas de sequências aritméticas e geométricas. Médio: decidir a convergência, o teste da razão e o raio de convergência. Difícil: polinômios de Taylor, seus coeficientes e cotas de erro.

Autoavaliação Qual é o coeficiente de x³ na série de Maclaurin de sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Resposta: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, e 3! = 6, então o coeficiente é −1/6. Esquecer o sinal de menos dá 1/6.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
kak​13579111315ε = 0,2

A sequência geométrica aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ é decrescente. Encontre o primeiro índice n para o qual aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Calcule n

Mostrar dicas
  1. Resolva 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 com logaritmos.
  2. ln 0,85 é negativo: dividir por ele inverte a desigualdade.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Séries aritméticas e geométricas: uma sequência aritmética soma a mesma diferença d a cada passo, aₙ = a₁ + (n − 1)d, e sua soma é Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Uma sequência geométrica multiplica pela mesma razão r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, com Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Quando |r| < 1, os termos diminuem rápido o bastante para que a soma infinita exista: S = a₁/(1 − r), em que a₁ é o primeiro termo da soma.

Desigualdade

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logaritmos

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Verificação

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Resposta

n = 21
Exemplo 2Média
kSn​12345678910S = ?

Encontre a soma S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calcule S

Mostrar dicas
  1. Frações parciais: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Escreva os primeiros termos: a maioria deles se cancela (uma soma telescópica).
  3. O que resta é (12/3)·(1 + … + 1/3).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.

Frações parciais

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Cancelar

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Resposta

S = 7,333
Exemplo 3Difícil

f(x) = cos x é aproximada em x = 1 pelo seu polinômio de Maclaurin de grau n. Com a cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! e M = 1, encontre o menor grau n que garante um erro abaixo de 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Calcule n

Mostrar dicas
  1. Tente n = 1, 2, 3, … e calcule 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! a cada vez.
  2. O fatorial cresce rápido, então poucos passos bastam.
  3. Pare no primeiro n em que a cota fica abaixo de 1 × 10⁻⁶.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.

n(n + 1)!cota011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Cotas para n crescente

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Menor grau

n = 9

Resposta

n = 9

Perguntas e respostas

Sequências e séries: o que é?

Uma sequência é uma lista de números a₁, a₂, a₃, … e uma série é a sua soma. Dois tipos aparecem em toda prova.

Uma sequência aritmética soma a mesma diferença d a cada passo: 3, 7, 11, 15, … tem d = 4.

Sequências e séries: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
  2. Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
  3. Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
  4. Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Sequências e séries: quais são os erros mais comuns?
  • Usar n em vez de n − 1 em aₙ = a₁ + (n − 1)d ou a₁rⁿ⁻¹.
  • Usar a fórmula da soma infinita quando |r| ≥ 1, ou com o primeiro termo errado.
  • Concluir a convergência apenas porque os termos tendem a 0.
  • Inverter o limite do teste da razão: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, e não o seu inverso.
  • Esquecer os fatoriais ou os sinais alternados num polinômio de Taylor.
Sequências e séries: o que se pratica?
  • Fácil: séries aritméticas e geométricas
  • Média: convergência e séries de potências
  • Difícil: polinômios de Taylor e Maclaurin

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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