Intervalos de confiança: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: intervalo de confiança · estimação intervalar

Exercícios grátis de Intervalos de confiança com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: intervalo z, intervalo t, tamanho da amostra.

Exercício gratuitoFácil
LU = ?p̂ = 55/100E90%

Em uma pesquisa com 100 eleitores escolhidos aleatoriamente, 55 apoiam uma proposta. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a proporção de apoiadores.

n = 100x = 5590%
Próximo exercício →
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O que você pratica

  1. Fácilintervalo z
  2. Médiaintervalo t
  3. Difíciltamanho da amostra

Como resolver exercícios de Intervalos de confiança

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Erros comuns

  • Esquecer de dividir por √n.
  • Usar z quando a amostra é pequena e σ é desconhecido.
  • Arredondar o tamanho da amostra para baixo em vez de para cima.

Fórmulas principais

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Aprenda Intervalos de confiança do zero

Antes disso: Distribuição normal

1O que é um intervalo de confiança

Você quer a média μ de toda uma população, por exemplo a vida útil média de todas as baterias que uma fábrica produz. Não dá para testar todas, então você testa uma amostra de n baterias.

A média amostral x̄ é o seu melhor palpite para μ, mas outra amostra daria um x̄ um pouco diferente. Um único número esconde essa incerteza.

Um intervalo de confiança dá uma faixa em vez disso: de x̄ menos uma margem até x̄ mais uma margem.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Um intervalo de confiança de 95% é construído por um método que captura o verdadeiro μ em 95% de todas as amostras. Um nível de confiança maior dá um intervalo mais largo.

Autoavaliação Você calcula um intervalo de confiança de 90% e outro de 99% a partir da mesma amostra. Qual é o mais largo?
  1. Depende da média amostral
  2. O intervalo de 90%
  3. O intervalo de 99%
  4. Têm a mesma largura

Resposta: O intervalo de 99%. Para ter mais confiança de que o intervalo contém μ, ele precisa ser mais largo. O valor crítico de 99%, 2,576, é maior que o de 90%, 1,645.

2O intervalo z

Quando o desvio-padrão populacional σ é conhecido, o intervalo é:

x̄ ± z · σ / √n

O termo σ/√n é o erro padrão: quanto x̄ varia de amostra para amostra. Uma amostra maior dá um erro padrão menor.

O valor crítico z depende do nível de confiança. Aprenda estes três:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

A margem de erro é E = z · σ/√n. O intervalo vai de x̄ − E (o limite inferior) até x̄ + E (o limite superior).

Autoavaliação Uma amostra de 64 tem média 55. O σ populacional é 12. Qual é o limite superior do intervalo de confiança de 95%?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Resposta: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, então o limite superior é 57,94. Esquecer √n dá 78,52, e 57,47 usa o valor de 90%, 1,645.

3O intervalo t e o tamanho da amostra

Em geral σ não é conhecido. Então você usa o desvio-padrão amostral s, e o valor crítico vem da distribuição t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

O número de graus de liberdade gl é n − 1. O valor de t é maior que z, então o intervalo é mais largo: ele leva em conta a incerteza adicional em s. Para n grande, t fica próximo de z.

A 95%: t = 2,262 para gl = 9, t = 2,131 para gl = 15 e t = 2,045 para gl = 29.

Às vezes é preciso planejar o tamanho da amostra: quão grande deve ser n para uma margem de erro de no máximo E? Resolva E = zσ/√n para n:

n = (z · σ / E)²

Arredonde sempre para cima até o próximo inteiro. Arredondar para baixo daria uma margem ligeiramente maior que E.

Autoavaliação σ = 13. Qual deve ser o tamanho da amostra para um intervalo de 95% com margem de erro de no máximo 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Resposta: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, arredondado para cima dá 163. Arredondar para baixo, 162, dá uma margem um pouco acima de 2, e 13 esquece de elevar ao quadrado.

4O método passo a passo

  1. Anote n, x̄ e σ ou s.
  2. Escolha z (σ conhecido) ou t com gl = n − 1 (só s conhecido).
  3. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  4. Calcule o erro padrão: σ/√n ou s/√n.
  5. Margem de erro: E = valor crítico × erro padrão.
  6. Intervalo: de x̄ − E até x̄ + E. Dê o limite que for pedido.

Para uma questão de tamanho de amostra: n = (zσ/E)², arredondado para cima.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma amostra de 16 itens tem média 40 e desvio-padrão s = 6. A população é aproximadamente normal. Encontre o intervalo de confiança de 95% para a média.

1

z ou t?

Só o desvio-padrão amostral s é conhecido, não σ. Então use t com gl = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Erro-padrão

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Margem de erro

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

O intervalo

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Verifique a resposta

Com z = 1,96 a margem seria 2,94. O intervalo t é um pouco mais largo, como deve ser quando σ é desconhecido.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% é [36,80; 43,20].

6Erros comuns

  • Esquecer de dividir por √n.
  • Usar z quando a amostra é pequena e σ é desconhecido.
  • Usar gl = n em vez de gl = n − 1 para t.
  • Usar o valor de 90%, 1,645, para um intervalo de 95%.
  • Arredondar o tamanho da amostra para baixo em vez de para cima.
Autoavaliação Uma amostra de n = 10 tem desvio-padrão s = 5. σ é desconhecido. Qual valor crítico você usa para um intervalo de 95%?
  1. t = 2,228 (gl = 10)
  2. t = 2,262 (gl = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Resposta: t = 2,262 (gl = 9). σ é desconhecido, então use t com gl = n − 1 = 9. Usar z ignora a incerteza em s, e gl = 10 esquece o menos um.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: um intervalo z. σ é conhecido; encontre o limite inferior ou superior.
  • Médio: um intervalo t. Só s é dado; o valor de t com n − 1 graus de liberdade é dado ou vem de uma tabela.
  • Difícil: tamanho da amostra. Encontre o menor n para uma dada margem de erro e arredonde para cima.

Uma verificação rápida: a média amostral fica sempre exatamente no meio do intervalo.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Uma amostra de 200 medições tem média 174,5. Sabe-se que o desvio-padrão da população é 30. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Calcule limite superior

Mostrar dicas
  1. σ é conhecido, então use o valor crítico z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Margem de erro

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Intervalo

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Resposta

limite superior = 178
Exemplo 2Média
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Um intervalo de confiança de 95% para uma média, baseado em 50 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 7,8. Qual é a margem de erro E₂ se o mesmo estudo usar 100 observações?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Calcule E₂

Mostrar dicas
  1. E = z·σ/√n, e σ continua o mesmo.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Razão das margens

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Nova margem

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Resposta

E₂ = 5,515
Exemplo 3Difícil
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Os diâmetros de 21 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 1,2 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 20, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 9,591 e 2,5% fica acima de 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Calcule σ (µm)

Mostrar dicas
  1. Para uma população normal, (n − 1)s²/σ² segue uma distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade.
  2. Intervalo para σ²: de (n − 1)s²/34,17 até (n − 1)s²/9,591. Tire as raízes quadradas para obter σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.

Soma de quadrados

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Limites para σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Limite para σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Resposta

σ = 1,733 µm

Intervalo de 95% para σ: [0,9181, 1,733] µm.

Perguntas e respostas

Intervalos de confiança: o que é?

Você quer a média μ de toda uma população, por exemplo a vida útil média de todas as baterias que uma fábrica produz. Não dá para testar todas, então você testa uma amostra de n baterias.

A média amostral x̄ é o seu melhor palpite para μ, mas outra amostra daria um x̄ um pouco diferente. Um único número esconde essa incerteza.

Intervalos de confiança: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.
Intervalos de confiança: quais são os erros mais comuns?
  • Esquecer de dividir por √n.
  • Usar z quando a amostra é pequena e σ é desconhecido.
  • Arredondar o tamanho da amostra para baixo em vez de para cima.
Intervalos de confiança: o que se pratica?
  • Fácil: intervalo z
  • Média: intervalo t
  • Difícil: tamanho da amostra

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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