Métodos Numéricos: exercícios e questões de prova

Calcular respostas que não têm fórmula: raízes de equações com bissecção e Newton–Raphson, interpolação em tabelas, integração numérica com as regras do trapézio e de Simpson, e equações diferenciais com Euler, Heun e Runge–Kutta. As provas pedem algumas iterações numa tabela e o tamanho do erro.

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Pacote de revisão (PDF)Formulários, etapas dos métodos e exercícios com soluções completas, prontos para imprimir.

Tópicos desta disciplina

  1. Métodos numéricosraízes e interpolação · regras do trapézio e de Simpson · Euler, Heun e Runge–Kuttacálculos
  2. Sequências e sériesséries aritméticas e geométricas · convergência e séries de potências · polinômios de Taylor e Maclaurincálculos
  3. Matrizes e determinantesdeterminante 2×2 · 3×3 e produtos · valores próprios e sistemascálculos
  4. Equações diferenciaiscrescimento e decaimento exponencial · Lei de resfriamento de Newton · lineares de primeira ordemcálculos

Dicas de prova para Métodos Numéricos

  • Mantenha pelo menos seis algarismos significativos em cada iterado e arredonde apenas a resposta final.
  • Escreva os pesos da regra de integração embaixo da tabela de valores antes de somar qualquer coisa.
  • Use polinômios de Taylor para explicar o erro: o erro de Euler é proporcional a h, o de Simpson a h⁴.

Exemplos resolvidos

Métodos numéricosFácil

O método da bissecção começa num intervalo de comprimento 4. Cada passo divide o intervalo ao meio. Quantos passos n são necessários, no mínimo, para que o intervalo fique menor que 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Calcule n

Mostrar dicas
  1. Após n passos o intervalo tem comprimento (b − a)/2ⁿ.
  2. Resolva 4/2ⁿ < 0,0001, portanto 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Raízes e interpolação: a bissecção mantém um intervalo [a, b] em que f muda de sinal; a cada passo toma o ponto médio c = (a + b)/2 e mantém a metade em que o sinal ainda muda, de modo que após n passos o intervalo tem largura (b − a)/2ⁿ. O método de Newton–Raphson segue a reta tangente até o eixo: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); perto de uma raiz simples ele aproximadamente dobra o número de dígitos corretos a cada passo. Interpolação linear entre dois pontos de uma tabela: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Condição

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logaritmo

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Verificação

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Resposta

n = 16
Sequências e sériesMédia
kSn​12345678910S = ?

Encontre a soma S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calcule S

Mostrar dicas
  1. Frações parciais: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Escreva os primeiros termos: a maioria deles se cancela (uma soma telescópica).
  3. O que resta é (12/3)·(1 + … + 1/3).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.

Frações parciais

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Cancelar

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Resposta

S = 7,333

Como a prática funciona

  • “Praticar esta disciplina” mistura exercícios de todos os seus tópicos, como numa prova de verdade.
  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Os exames simulados são cronometrados e não têm dicas; no final você recebe sua nota e uma revisão completa.

Calculadoras para esta disciplina

Calculadora de determinante e matriz inversaCalculadora de autovalores e autovetoresCalculadora de meia-vida e decaimento exponencialResolvedor de sistemas de equações lineares (2×2 e 3×3)

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