Diagramas de Bode e margens: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: diagrama de Bode · margem de fase · margem de ganho

Exercícios grátis de Diagramas de Bode e margens com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: filtros e assíntotas, módulo e fase, margens de estabilidade.

Exercício gratuitoFácil
vin​C = 4,7 nFR = 10 kΩvout​

Encontre a frequência de corte (−3 dB) fc do Filtro passa-altas RC mostrado, com R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Dê em Hz.

R = 10 kΩC = 4,7 nF
Hz
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O que você pratica

  1. Fácilfiltros e assíntotas
  2. Médiamódulo e fase
  3. Difícilmargens de estabilidade

Aprenda Diagramas de Bode e margens do zero

Antes disso: Impedância CA e fasores, Transformadas de Laplace

1O que um diagrama de Bode mostra

Aplique uma senoide a um filtro ou amplificador, e sai uma senoide com a mesma frequência. Só duas coisas mudam: o tamanho e o instante.

tvvin​vout​

O ganho |H| é a razão entre a amplitude de saída e a amplitude de entrada. A fase φ é o quanto a saída está deslocada, em graus. Uma fase negativa significa que a saída está atrasada.

Os dois dependem da frequência. Um diagrama de Bode os desenha em função da frequência: o ganho em decibéis em cima, a fase embaixo. O eixo de frequência é logarítmico, então cada década (×10) ocupa a mesma largura.

Os decibéis transformam uma razão em um número que se pode somar:

|H|dB = 20·log₁₀|H|
  • Um ganho de 1 é 0 dB, 10 é 20 dB, 100 é 40 dB, e 0,1 é −20 dB.
  • Um ganho de 1/√2 ≈ 0,707 é −3 dB. Esse é o limite da banda passante de um filtro.
Autoavaliação Um amplificador tem ganho de 100. Qual é o seu ganho em decibéis?
  1. 100 dB
  2. 2 dB
  3. 20 dB
  4. 40 dB

Resposta: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB usa 10·log₁₀, que serve para razões de potência, não de tensão. 2 é só log₁₀(100).

2Filtros de primeira ordem

Um resistor com um capacitor ou um indutor forma o filtro mais simples. Um filtro passa-baixas deixa passar as baixas frequências e enfraquece as altas. Um filtro passa-altas faz o oposto.

vin​RCvout​vin​CRvout​

No filtro RC passa-baixas (à esquerda), a saída está sobre o capacitor. No filtro RC passa-altas (à direita), está sobre o resistor. Com um indutor, a saída de um filtro passa-baixas está sobre R, e a de um passa-altas sobre L.

A mudança ocorre em torno da frequência de corte, em que o ganho é −3 dB. Ela é a mesma para a versão passa-baixas e para a passa-altas:

ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)

ωc está em rad/s e fc em Hz. Coloque antes R, C e L em unidades básicas: Ω, F e H.

0−20−40dB−20 dB/dec−3 dB0°−45°−90°−45°0,010,1110100ω/ωc​

O gráfico mostra um filtro passa-baixas. Abaixo de ωc o ganho é cerca de 0 dB. Acima dela o ganho cai 20 dB por década. A fase vai de 0° a −90° e é −45° na frequência de corte.

Em qualquer frequência, com a razão x = f/fc = ω/ωc:

  • Passa-baixas: |H| = 1/√(1 + x²) e φ = −atan x.
  • Passa-altas: |H| = x/√(1 + x²) e φ = 90° − atan x.
Exemplo resolvido

Encontre a frequência de corte fc de um filtro RL passa-altas com R = 470 Ω e L = 47 mH.

1

Unidades básicas

L = 47 mH = 0,047 H
2

Frequência de corte em rad/s

ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3

Frequência de corte em Hz

fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Resposta

fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).

Autoavaliação Um filtro RC passa-baixas tem R = 1 kΩ e C = 1 µF. Qual é a sua frequência de corte fc?
  1. 1000 Hz
  2. 159 Hz
  3. 159 kHz
  4. 6283 Hz

Resposta: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, então fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 é ωc em rad/s, não em Hz. 6283 multiplica por 2π, e 159 kHz esquece o k de kΩ.

3Diagramas de Bode em retas

Para uma função de transferência G(s) você pode esboçar o módulo com retas. Cada fator muda a inclinação na sua própria frequência de corte.

  • Um fator de polo (s + p) no denominador dobra a reta para baixo de 20 dB/década a partir de ω = p.
  • Um fator de zero (s + z) no numerador dobra a reta para cima de 20 dB/década a partir de ω = z.
  • Um fator s no denominador (um integrador) dá −20 dB/década em todas as frequências, e −90° de fase.
  • Sem integrador, o gráfico começa plano no ganho CC G(0), convertido em dB.
200−20−40−60dB0−20−401101001000ω

A figura mostra G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, então o gráfico começa em 20 dB. Ele passa a −20 dB/década em 10 rad/s e a −40 dB/década em 100 rad/s.

Para achar a inclinação em uma faixa: comece com −20 dB/década por integrador, depois acrescente −20 para cada frequência de polo e +20 para cada frequência de zero abaixo dessa faixa.

Autoavaliação G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Qual é a inclinação do gráfico em retas entre 5 e 50 rad/s?
  1. 0 dB/década
  2. −20 dB/década
  3. −40 dB/década
  4. −60 dB/década

Resposta: −40 dB/década. O integrador dá −20 desde o início. O polo em 5 acrescenta −20, então a inclinação é −40 entre 5 e 50. O zero em 50 a traz de volta para −20 acima de 50. −60 trata o zero como um polo.

4Valores exatos em uma frequência

As retas são um esboço. Para um valor exato, substitua s = jω. Cada fator (jω + a) é um número complexo com:

|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)

O módulo de G é o produto dos módulos do numerador dividido pelo produto dos módulos do denominador. A fase é a soma dos ângulos do numerador menos a soma dos ângulos do denominador.

Exemplo: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) em ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 e |j4 + 4| = 5,657, então |G| = 150/28,28 = 5,30, ou seja, 14,5 dB.

A fase é −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.

Um circuito RLC série com a saída sobre R é um filtro passa-faixa. Ele deixa passar as frequências próximas da frequência de ressonância ω₀ = 1/√(LC). A largura de banda é BW = R/L em rad/s, e o fator de qualidade Q = ω₀/BW.

  1. Escreva G(s) ou H(jω). Para um filtro RC ou RL, encontre primeiro ωc e a razão x = ω/ωc.
  2. Para cada fator, encontre seu módulo √(ω² + a²) e seu ângulo atan(ω/a).
  3. Multiplique e divida os módulos. Some os ângulos dos zeros e subtraia os dos polos; um integrador acrescenta −90°.
  4. Converta o módulo em dB com 20·log₁₀.
  5. Compare com o esboço em retas: o valor exato deve ficar perto dele, e 3 dB abaixo em uma única frequência de corte.

5Um exemplo resolvido

Esta é uma questão média típica. Tente cada passo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Um filtro RC passa-baixas tem R = 10 kΩ e C = 100 nF. Aplica-se uma senoide de 480 Hz. Encontre o ganho |H| em dB e o deslocamento de fase φ.

1

Frequência de corte

Use unidades básicas: R = 10 000 Ω e C = 0,0000001 F.

ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2

Razão de frequências

x = f/fc = 480/159,2 = 3,016

A entrada está acima da frequência de corte, então espere uma perda de ganho clara.

3

Ganho

|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4

Fase

Um filtro passa-baixas faz a saída atrasar, então a fase é negativa.

φ = −atan(3,016) = −71,7°
5

Verifique a resposta

0−20−40dB−20 dB/dec−10,0 dB0,010,1110100ω/ωc​

A reta dá −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, perto do valor exato de −10,0 dB.

Resposta

|H| ≈ −10,0 dB e φ ≈ −71,7°.

6Erros comuns

  • Usar 10·log₁₀ para um ganho de tensão. Ganhos de sinais usam 20·log₁₀.
  • Confundir ω e f. ωc = 1/(RC) está em rad/s; divida por 2π para obter Hz.
  • Usar L/R para a frequência de corte de um RL. L/R é a constante de tempo; a frequência de corte é ωc = R/L.
  • Somar módulos como ω + a. O tamanho de jω + a é √(ω² + a²).
  • Esquecer o integrador: 1/s dá −20 dB/década e −90° em todas as frequências.
  • Dar o valor da reta quando a questão pede o módulo exato.
Autoavaliação Qual é o ganho CC de G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) em dB?
  1. 16,0 dB
  2. 32,0 dB
  3. 40 dB
  4. 52,0 dB

Resposta: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, e 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB usa 10·log₁₀. 40 é a razão, não dB. 52,0 dB esquece de fazer s = 0 no denominador.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: filtros e assíntotas. A frequência de corte de um filtro RC ou RL em Hz ou rad/s, a inclinação de um gráfico em retas em uma faixa, ou o ganho CC em dB.
  • Médio: módulo e fase. O ganho em dB ou a fase de um filtro em uma dada frequência, o |G(jω)| ou ∠G(jω) exato de uma função de transferência, ou f₀, BW ou Q de um filtro RLC passa-faixa.
  • Difícil: margens de estabilidade de uma malha L(s), como 85/(s(s + 5)) ou K/(s(s + a)(s + b)).

No nível difícil você precisa de duas frequências. No cruzamento de ganho ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). No cruzamento de fase ω180, ∠L(jω) = −180°.

PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|

Para L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) o cruzamento de fase está em ω180 = √(a·b). Uma malha é estável quando as duas margens são positivas.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
|H| (dB)0,11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)

Encontre o ganho em baixa frequência (CC) de G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) em decibéis, |G(0)| em dB.

G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))

Calcule |G(0)| (dB)

Mostrar dicas
  1. Em frequência muito baixa, s → 0.
  2. G(0) = 0,3.
  3. 20·log₁₀(0,3).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ωc = 1/(RC) ou R/L, e fc = ωc/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruzamento de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.

Ganho CC

G(0) = 0,3

Em decibéis

20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB

Resposta

|G(0)| = −10,46 dB
Exemplo 2Média
vin​R = 1 kΩC = 1 nFvout​

O Filtro passa-baixas RC mostrado tem R = 1 kΩ, C = 1 nF. Aplica-se uma entrada senoidal de 1600 kHz. Encontre a defasagem φ de vout em relação a vin, em graus.

R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz

Calcule φ (°)

Mostrar dicas
  1. Encontre primeiro a frequência de corte: fc = 159155 Hz.
  2. H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
  3. f/fc = 10,05.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ωc = 1/(RC) ou R/L, e fc = ωc/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruzamento de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.

Frequência de corte

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05

Fase

φ = − atan(10,05) = −84,32°

Resposta

φ = −84,32°
Exemplo 3Difícil
|H| (dB)0,10,111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

Uma malha com realimentação unitária tem a função de transferência de malha aberta L(s) = 185/(s(s + 5)). Encontre a margem de fase PM em graus.

L(s) = 185/(s(s + 5))

Calcule PM (°)

Mostrar dicas
  1. |L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 dá ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0.
  2. Resolva a equação do segundo grau em x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
  3. ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ωc = 1/(RC) ou R/L, e fc = ωc/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruzamento de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.

Cruzamento de ganho

ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s

Margem de fase

∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°

Resposta

PM = 20,82°

Perguntas e respostas

Diagramas de Bode e margens: o que é?

Aplique uma senoide a um filtro ou amplificador, e sai uma senoide com a mesma frequência. Só duas coisas mudam: o tamanho e o instante.

O ganho |H| é a razão entre a amplitude de saída e a amplitude de entrada. A fase φ é o quanto a saída está deslocada, em graus. Uma fase negativa significa que a saída está atrasada.

Diagramas de Bode e margens: como resolver os exercícios passo a passo?

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ωc = 1/(RC) ou R/L, e fc = ωc/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) e φ = −atan(ω/ωc). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jωc). Cruzamento de fase ω180: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.

Diagramas de Bode e margens: quais são os erros mais comuns?
  • Esse é o ganho como razão. Converta: 20·log₁₀(0,3).
  • Para uma razão de tensões ou de sinais use 20·log₁₀, não 10·log₁₀ (que é para potência).
  • Faça s = 0 em todos os fatores: G(0) = 0,3, não 12.
Diagramas de Bode e margens: o que se pratica?
  • Fácil: filtros e assíntotas
  • Média: módulo e fase
  • Difícil: margens de estabilidade

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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