Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: Tabela de Routh e contagem de polos, faixa de K para a estabilidade, lugar das raízes.

Exercício gratuitoFácil
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

O polinômio característico de um sistema com realimentação é Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Monte a tabela de Routh e encontre quantas raízes N de Q(s) estão no semiplano direito.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Resposta exata: um número inteiro, sem arredondar.

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O que você pratica

  1. FácilTabela de Routh e contagem de polos
  2. Médiafaixa de K para a estabilidade
  3. Difícillugar das raízes

Como resolver exercícios de Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes

  1. Escreva o polinômio característico de malha fechada: o denominador de 1 + K·G(s) = 0, desenvolvido.
  2. Coloque os coeficientes alternadamente nas duas primeiras linhas da tabela de Routh e construa as demais linhas.
  3. Conte as trocas de sinal na primeira coluna: cada uma é um polo no semiplano direito. Com K na tabela, exija que todos os elementos da primeira coluna permaneçam positivos.
  4. Para um lugar das raízes, marque os polos e zeros, os segmentos do eixo real, as assíntotas a partir do centroide e os pontos de ruptura onde dK/ds = 0. Use K = 1/|G(s)| para o ganho em um ponto.

Erros comuns

  • Concluir que um sistema é estável porque todos os coeficientes são positivos; para ordem três ou superior isso não basta.
  • Esquecer o termo constante da planta quando K é somado: com três polos fora da origem o elemento de s⁰ é abc + K.
  • Tomar o ponto médio de dois polos como o ponto de saída quando um terceiro polo ou um zero está por perto.
  • Usar as posições dos polos sem seus sinais na fórmula do centroide.

Fórmulas principais

Estabilidade
todas as raízes do polinômio característico no semiplano esquerdo
tabela de Routh, elemento de s¹ de um polinômio cúbico
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Raízes no semiplano direito
número de trocas de sinal na primeira coluna
Cúbico s³ + a₂s² + a₁s + a₀
estável quando todos os a > 0 e a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Equação característica
1 + K·G(s) = 0
Assíntotas
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Pontos de saída e de chegada
dK/ds = 0
Condição de módulo
K = 1/|G(s)|
Ângulo de partida
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Aprenda Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes do zero

Antes disso: Transformadas de Laplace, Diagramas de blocos

1O que significa estabilidade

Um sistema é estável quando toda entrada limitada dá uma saída limitada. Depois de uma perturbação um sistema estável se acomoda; um instável dispara ou oscila com amplitude crescente.

O comportamento é determinado pelos polos da malha fechada: as raízes do seu polinômio característico. Um polo em s = p acrescenta um termo ept à resposta.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Um polo com parte real negativa (semiplano esquerdo) dá um termo que se extingue.
  • Um polo com parte real positiva (semiplano direito) dá um termo que cresce sem limite.
  • Portanto o sistema só é estável quando todos os polos estão no semiplano esquerdo.
Autoavaliação Uma malha fechada tem polos em −3, −1 + j2, −1 − j2 e +0,5. Ela é estável?
  1. Não, o polo em +0,5 a torna instável
  2. Não, porque polos complexos sempre tornam um sistema instável
  3. Sim, porque os polos complexos têm partes reais negativas
  4. Sim, porque três dos quatro polos estão no semiplano esquerdo

Resposta: Não, o polo em +0,5 a torna instável. Um polo no semiplano direito basta: seu termo e0,5t cresce. Polos complexos no semiplano esquerdo não são problema; eles dão uma oscilação amortecida.

2A tabela de Routh

Para ordem três ou superior é difícil encontrar as raízes à mão. O critério de Routh–Hurwitz diz quantas raízes estão no semiplano direito sem resolvê-las.

Escreva os coeficientes alternadamente nas duas primeiras linhas. Para s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Cada nova linha é construída a partir das duas linhas acima. Para o polinômio cúbico, o elemento de s¹ é:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

O número de trocas de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes no semiplano direito.

Exemplo: s³ + 2s² + 3s + 10. A primeira coluna é 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Os sinais vão +, +, −, +: duas trocas, então dois polos estão no semiplano direito.

Autoavaliação Para s³ + 4s² + 5s + 2, qual é o primeiro elemento da linha s¹?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Resposta: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Esquecer de dividir por 4 dá 18; trocar os produtos dá −4,5.

3O método passo a passo

  1. Escreva a equação característica de malha fechada 1 + K·G(s) = 0 e desenvolva-a até um polinômio.
  2. Preencha as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes.
  3. Construa as demais linhas; mantenha K como símbolo se ele aparecer.
  4. Conte as trocas de sinal na primeira coluna, ou exija que todo elemento da primeira coluna seja positivo para encontrar a faixa permitida de K.
  5. No ganho limite a linha s¹ é nula. A linha s² dá então a equação auxiliar a·s² + b = 0, cujas raízes ±jω mostram a frequência de oscilação.

Teste rápido para um polinômio cúbico s³ + a₂s² + a₁s + a₀: ele é estável exatamente quando todos os coeficientes são positivos e a₂·a₁ > a₀.

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

A malha abaixo tem L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Para quais ganhos K a malha fechada é estável, e em que frequência ela oscila no limite?

1

Observe a malha

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

A equação característica é 1 + L(s) = 0, então s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Desenvolva

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Monte a tabela de Routh

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

O elemento de s¹ é (6·8 − 1·K)/6.

4

Mantenha a primeira coluna positiva

Da linha s⁰: K > 0. Da linha s¹: 48 − K > 0, então K < 48.

5

Frequência no limite

Em K = 48 a linha s¹ é nula. A linha s² dá 6s² + 48 = 0, então s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Verifique a resposta

Em K = 48 o polinômio é s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Suas raízes são −6 e ±j2,83, como esperado.

Resposta

A malha é estável para 0 < K < 48; em K = 48 ela oscila em ω = 2,83 rad/s.

5O lugar das raízes

O lugar das raízes mostra como os polos de malha fechada se movem quando K vai de 0 a ∞. Ele começa nos polos de malha aberta (×) e termina nos zeros de malha aberta (○) ou no infinito.

  • Um ponto do eixo real está no lugar das raízes quando o número de polos e zeros reais à sua direita é ímpar.
  • Os n − m ramos que vão ao infinito seguem assíntotas nos ângulos (2q + 1)·180°/(n − m).
  • As assíntotas partem do centroide σa = (Σ polos − Σ zeros)/(n − m).
  • Os ramos saem do eixo real ou chegam a ele onde dK/ds = 0, com K = −1/G(s) sobre o eixo.
  • O ganho em qualquer ponto s do lugar das raízes é K = 1/|G(s)|, o produto das distâncias aos polos dividido pelo das distâncias aos zeros.

Para L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) o centroide é (0 − 2 − 4)/3 = −2, e as assíntotas saem a 60°, 180° e 300°.

ReIm0−2−460°

O ponto de saída entre 0 e −2 vem de dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, então s = −0,845.

Autoavaliação Para L(s) = K/((s + 1)(s + 5)), onde os dois ramos saem do eixo real?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Resposta: s = −3. Com dois polos reais e nenhum zero, K = −(s + 1)(s + 5) é máximo no meio entre eles: dK/ds = −(2s + 6) = 0 dá s = −3.

6Erros comuns

  • Chamar um sistema de estável porque todos os seus coeficientes são positivos. Para ordem três ou superior você também precisa do teste de Routh.
  • Esquecer o termo constante da planta: para K/((s + a)(s + b)(s + c)) o coeficiente de s⁰ é abc + K, e não K.
  • Tomar o ponto médio de dois polos como o ponto de saída quando um terceiro polo ou um zero puxa o lugar das raízes.
  • Omitir os sinais no centroide: um fator (s + 4) é um polo em s = −4.
Autoavaliação s³ + s² + 2s + 8 = 0 é uma equação característica estável?
  1. Não: a₂·a₁ = 2 é menor que a₀ = 8
  2. Não: um polinômio cúbico nunca é estável
  3. Sim: os coeficientes não mudam de sinal
  4. Sim: todos os coeficientes são positivos

Resposta: Não: a₂·a₁ = 2 é menor que a₀ = 8. O elemento de s¹ é (1·2 − 8)/1 = −6, então a primeira coluna 1, 1, −6, 8 troca de sinal duas vezes: dois polos estão no semiplano direito. Coeficientes positivos não bastam.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: a tabela de Routh e a contagem de polos. Você conta os polos no semiplano direito de um polinômio de terceiro ou quarto grau, encontra um elemento da tabela, encontra um polo de malha fechada para uma planta de primeira ordem ou o ganho que o coloca em um ponto dado.
  • Médio: a faixa de K. Você encontra o maior ganho estável, a frequência de oscilação nesse ganho, o menor ganho que estabiliza uma planta instável ou até onde o ganho pode subir.
  • Difícil: o lugar das raízes. Você encontra o centroide das assíntotas, o cruzamento do eixo imaginário, os pontos de saída e de chegada, o ângulo de partida de um polo complexo ou o ganho em um ponto dado ou em um coeficiente de amortecimento.

Para um ganho em um dado coeficiente de amortecimento, escreva o polinômio característico e compare-o com s² + 2ζωns + ωn².

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
R(s)+K1s + 10C(s)−

Um ganho proporcional K controla a planta G(s) = 1/(s + 10) em uma malha com realimentação unitária. Encontre o ganho K que coloca o polo de malha fechada em s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Calcule K

Mostrar dicas
  1. O polo de malha fechada é a raiz de s + 10 + 1K = 0.
  2. Substitua s = −10,5 nessa equação.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Critério de Routh–Hurwitz: um sistema linear é estável quando todas as raízes do seu polinômio característico estão no semiplano esquerdo do plano s. Escreva os coeficientes alternadamente nas duas primeiras linhas da tabela de Routh. Cada elemento de uma nova linha vem das duas linhas acima; para um polinômio cúbico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ o elemento de s¹ é b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. O número de trocas de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes no semiplano direito. Com um ganho K nos coeficientes, todos os elementos da primeira coluna devem permanecer positivos: o ganho que anula o elemento de s¹ é o limite de estabilidade, e a linha s² dá então a frequência da oscilação sustentada.

Equação característica

s + 10 + 1K = 0

Ganho necessário

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Resposta

K = 0,5
Exemplo 2Média
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

A planta G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) tem um polo instável em s = 4. Um ganho proporcional K fecha uma malha com realimentação unitária em torno dela. Encontre o menor ganho Kmin que torna a malha fechada estável.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Calcule Kmin

Mostrar dicas
  1. O polinômio característico é (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Um polinômio de segunda ordem é estável quando os dois coeficientes são positivos.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Critério de Routh–Hurwitz: um sistema linear é estável quando todas as raízes do seu polinômio característico estão no semiplano esquerdo do plano s. Escreva os coeficientes alternadamente nas duas primeiras linhas da tabela de Routh. Cada elemento de uma nova linha vem das duas linhas acima; para um polinômio cúbico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ o elemento de s¹ é b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. O número de trocas de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes no semiplano direito. Com um ganho K nos coeficientes, todos os elementos da primeira coluna devem permanecer positivos: o ganho que anula o elemento de s¹ é o limite de estabilidade, e a linha s² dá então a frequência da oscilação sustentada.

Polinômio característico

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Condições

Para s² + c₁s + c₀, todas as raízes estão no semiplano esquerdo exatamente quando c₁ > 0 e c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Resposta

Kmin = 3
Exemplo 3Difícil
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

O lugar das raízes de L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) sai do eixo real entre s = 0 e s = −4. Encontre o ponto de saída sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Calcule sb

Mostrar dicas
  1. No eixo real K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Faça dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Tome a raiz que está entre 0 e −4.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Lugar das raízes: quando o ganho K vai de 0 a ∞, os polos de malha fechada, as raízes de 1 + K·G(s) = 0, movem-se dos polos de malha aberta para os zeros de malha aberta ou para o infinito. Um ponto do eixo real pertence ao lugar das raízes quando o número de polos e zeros reais à sua direita é ímpar. Os n − m ramos que vão ao infinito seguem assíntotas nos ângulos (2q + 1)·180°/(n − m), que partem do centroide σₐ = (Σ polos − Σ zeros)/(n − m). Os ramos saem do eixo real ou chegam a ele onde dK/ds = 0. A condição de ângulo ∠G(s) = 180° fixa a forma, e a condição de módulo K = 1/|G(s)| dá o ganho em qualquer ponto do lugar das raízes.

Ganho ao longo do eixo real

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Pontos estacionários

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Escolha o ponto que está no lugar das raízes

O lugar das raízes está no eixo real entre 0 e −4; a outra raiz não pertence a ele.

sb = −1,761

Resposta

sb = −1,761

Perguntas e respostas

Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes: o que é?

Um sistema é estável quando toda entrada limitada dá uma saída limitada. Depois de uma perturbação um sistema estável se acomoda; um instável dispara ou oscila com amplitude crescente.

O comportamento é determinado pelos polos da malha fechada: as raízes do seu polinômio característico. Um polo em s = p acrescenta um termo ept à resposta.

Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Escreva o polinômio característico de malha fechada: o denominador de 1 + K·G(s) = 0, desenvolvido.
  2. Coloque os coeficientes alternadamente nas duas primeiras linhas da tabela de Routh e construa as demais linhas.
  3. Conte as trocas de sinal na primeira coluna: cada uma é um polo no semiplano direito. Com K na tabela, exija que todos os elementos da primeira coluna permaneçam positivos.
  4. Para um lugar das raízes, marque os polos e zeros, os segmentos do eixo real, as assíntotas a partir do centroide e os pontos de ruptura onde dK/ds = 0. Use K = 1/|G(s)| para o ganho em um ponto.
Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes: quais são os erros mais comuns?
  • Concluir que um sistema é estável porque todos os coeficientes são positivos; para ordem três ou superior isso não basta.
  • Esquecer o termo constante da planta quando K é somado: com três polos fora da origem o elemento de s⁰ é abc + K.
  • Tomar o ponto médio de dois polos como o ponto de saída quando um terceiro polo ou um zero está por perto.
  • Usar as posições dos polos sem seus sinais na fórmula do centroide.
Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes: o que se pratica?
  • Fácil: Tabela de Routh e contagem de polos
  • Média: faixa de K para a estabilidade
  • Difícil: lugar das raízes

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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