Calculadora do critério de estabilidade de Routh–Hurwitz
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Resultado
| coluna 1 | coluna 2 | coluna 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Verifique a estabilidade de um sistema linear a partir do seu polinômio característico. A calculadora monta a tabela de Routh com frações exatas, trata um zero na primeira coluna (método do ε) e uma linha de zeros (polinômio auxiliar), conta as mudanças de sinal e fornece o número de raízes no semiplano direito, sobre o eixo imaginário e no semiplano esquerdo.
Solução passo a passo
Polinômio característico
Duas primeiras linhas
Linhas seguintes
Conte as mudanças de sinal na primeira coluna
Fórmulas principais
- Estabilidade
- todas as raízes do polinômio característico no semiplano esquerdo
- tabela de Routh, elemento de s¹ de um polinômio cúbico
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Raízes no semiplano direito
- número de trocas de sinal na primeira coluna
- Cúbico s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- estável quando todos os a > 0 e a₂·a₁ > a₀
- Equação característica
- 1 + K·G(s) = 0
Como usar o critério de Routh–Hurwitz
- Escreva o polinômio característico com todas as potências de s da maior para baixo. Se um coeficiente estiver faltando ou os sinais forem diferentes, o sistema não pode ser estável.
- Preencha a primeira linha com os coeficientes 1º, 3º, 5º, … e a segunda linha com os 2º, 4º, 6º, ….
- Cada elemento seguinte é (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, usando as duas linhas acima dele.
- Se um primeiro elemento for zero mas a linha não for, substitua-o por um ε > 0 pequeno. Se uma linha inteira for zero, substitua-a pela derivada do polinômio auxiliar formado a partir da linha acima.
- O número de mudanças de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes no semiplano direito.
Perguntas e respostas
O que significa uma linha de zeros?
O polinômio tem raízes simétricas em relação à origem: pares ±a, ±jω, ou quádruplas. O polinômio auxiliar da linha acima contém exatamente essas raízes, e suas raízes sobre o eixo imaginário tornam o sistema, no melhor caso, marginalmente estável.
O método do ε é sempre confiável?
Não quando há raízes sobre o eixo imaginário. Por isso a calculadora também separa o fator comum de P(s) e P(−s), que contém todas as raízes simétricas, e conta exatamente suas raízes sobre o eixo imaginário. Se isso mudar a contagem, os passos informam.
Como encontro a faixa de K para a estabilidade?
Coloque o ganho K nos coeficientes, monte a tabela simbolicamente e exija que todo elemento da primeira coluna seja positivo. Esta calculadora trabalha com números, então você pode usá-la para conferir um valor de K de cada lado do limite que você encontrou.
Uma tabela de Routh estável significa um bom projeto?
Ela só diz que todos os polos estão no semiplano esquerdo. Quão rápida e bem amortecida é a resposta depende de onde os polos estão; use o lugar das raízes ou um diagrama de Bode para isso.
Pratique você mesmo
Pratique Estabilidade: Routh–Hurwitz e lugar das raízes
Uma calculadora dá a resposta. Na prova você precisa do método: pratique-o com exercícios novos, dicas e soluções resolvidas.