Engenharia de Controle 2: Projeto de Controle com Realimentação: exercícios e questões de prova

Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jω_d com ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tempo de pico t_p = π/ω_d e tempo de acomodação de 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ω_c = 1/(RC) ou R/L, e f_c = ω_c/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruzamento de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.