Análise de malhas: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: método das malhas · correntes de malha · lei das malhas
Exercícios grátis de Análise de malhas com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: 2 malhas, 1 fonte, 2 malhas, 2 fontes, 3 malhas.
Exercício gratuitoFácil
Use análise de malhas para encontrar a corrente IR1 em R1 no sentido da seta.
A análise de malhas é um método padrão para encontrar as correntes de um circuito. É a parceira da análise nodal: a análise nodal usa tensões como incógnitas, a análise de malhas usa correntes.
Olhe um desenho plano de circuito. As “janelas” vazias cercadas por fios e componentes são chamadas de malhas.
Imagine uma corrente circulando em cada janela. Essas são as correntes de malha. Toda corrente de ramo real é formada a partir delas.
Pense numa fileira de engrenagens lado a lado. Cada roda gira por conta própria, e onde duas rodas se tocam, o que você vê é a diferença entre os seus movimentos.
Autoavaliação Um desenho plano de circuito tem três janelas. Quantas correntes de malha você precisa?
1
2
3
6
Resposta: 3. Uma corrente de malha por janela, então três. Depois você escreve uma equação por malha, três equações no total.
2Lei das tensões de Kirchhoff
Percorra uma vez qualquer laço fechado e volte ao ponto de partida. Você termina na mesma tensão em que começou.
Então a tensão que você ganha nas fontes é igual à tensão que você perde nos resistores. Esta é a lei das tensões de Kirchhoff (LKT).
Σ elevações de tensão = Σ quedas de tensão
Uma fonte é uma elevação quando você a atravessa de − para +. Um resistor é uma queda de I·R quando você o atravessa no sentido da sua corrente.
Neste laço, a fonte dá 12 V. Um resistor consome 8 V, então o outro deve consumir os 4 V restantes.
Autoavaliação Uma fonte de 10 V alimenta um laço com dois resistores. O primeiro tem 7 V sobre ele. Qual é a tensão sobre o segundo?
10 V
17 V
3 V
7 V
Resposta: 3 V. As quedas devem somar a elevação de 10 V: 10 − 7 = 3 V. Somar as tensões (17 V) viola a LKT.
3Correntes de malha num resistor compartilhado
Desenhe todas as correntes de malha no sentido horário, com o mesmo padrão de nome: I1, I2, …
Um resistor na parte externa do circuito pertence a uma só malha. Ele conduz essa corrente de malha.
Um resistor entre duas janelas é compartilhado. As duas correntes de malha passam por ele, em sentidos opostos. Sua corrente real é a diferença.
IR3 (para baixo) = I1 − I2
Na malha 1, I1 desce por R3, então você escreve I1 − I2. Na malha 2, I2 sobe por R3, então você escreve I2 − I1.
Autoavaliação No circuito acima, I1 = 3 A e I2 = 1 A. Que corrente desce por R3?
1 A
2 A
3 A
4 A
Resposta: 2 A. O resistor compartilhado conduz a diferença: 3 − 1 = 2 A para baixo. Somar as correntes de malha (4 A) é o deslize mais comum.
4O método passo a passo
Conte as janelas. Desenhe uma corrente de malha no sentido horário em cada uma: I1, I2, …
Percorra a malha 1 no sentido horário. Some as quedas: para cada resistor, R vezes a corrente que passa por ele (a própria corrente de malha, ou a diferença num resistor compartilhado).
Iguale as quedas às elevações das fontes nessa malha. Uma fonte conta como + quando você a atravessa de − para +, e como − no sentido contrário.
Repita para cada malha. Você obtém uma equação por malha.
Resolva as equações para as correntes de malha.
Encontre a corrente ou a tensão de ramo de que precisa. Uma corrente de malha negativa circula no sentido anti-horário.
Percorra sempre no mesmo sentido da corrente de malha. Assim todo termo de resistor começa com sinal de mais.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Encontre as correntes de malha e a corrente IR3 que passa por R3, no sentido da seta.
1
Defina as correntes de malha
Há duas janelas, então há duas correntes de malha no sentido horário, I1 e I2. R3 é compartilhado entre elas.
2
LKT na malha 1
No sentido horário, você atravessa V1 de − para +: uma elevação de 10 V. R1 conduz I1, e R3 conduz I1 − I2.
2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3
LKT na malha 2
A malha 2 não tem fonte, então suas quedas somam 0. R2 e R4 conduzem I2, e R3 conduz I2 − I1.
4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4
Resolva as equações
Coloque I1 = 2·I2 na primeira equação.
8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5
Corrente em R₃
A seta aponta para baixo, no mesmo sentido de I1 em R3.
IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6
Verifique a resposta
Malha 1: R1 consome 2·2 = 4 V e R3 consome 6·1 = 6 V. Juntos, 10 V, igual a V1.
Malha 2: R2 e R4 conduzem 1 A e consomem 4 + 2 = 6 V. Isso é igual aos 6 V sobre R3, como deve ser, porque estão ligados aos mesmos dois nós.
Resposta
I1 = 2 A, I2 = 1 A e IR3 = 1 A para baixo.
6Erros comuns
Usar a corrente de malha inteira num resistor compartilhado. Um resistor compartilhado conduz a diferença das duas correntes de malha.
Errar o sinal de uma fonte. Passar por uma fonte de + para − no sentido do percurso conta como uma elevação negativa.
Percorrer algumas malhas no sentido anti-horário. Mantenha todas as correntes de malha e todos os percursos no sentido horário.
Esquecer que um resultado negativo é permitido. Ele só significa que a corrente circula no sentido anti-horário.
Autoavaliação Percorrendo a malha 2 no sentido horário, você passa por uma fonte de 6 V do lado + para o lado −. A malha 2 contém R2 = 2 Ω e o R3 = 4 Ω compartilhado. Qual equação está certa?
2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
2·I2 + 4·I2 = −6
Resposta: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. Passar por uma fonte de + para − é uma queda, então conta como −6 V do lado das elevações. Na malha 2, o resistor compartilhado conduz I2 − I1, não I2 sozinha nem I1 − I2.
7Como são as questões de prova
Fácil: duas malhas e uma fonte de tensão, como no exemplo resolvido. A malha 2 não tem fonte, então sua equação é igual a 0.
Médio: duas malhas e duas fontes de tensão, uma de cada lado. Atenção ao sinal da fonte da direita na malha 2.
Difícil: três malhas, com dois resistores compartilhados. A malha do meio compartilha um resistor com cada vizinha.
A questão pede uma corrente de malha, a corrente por um resistor no sentido da seta, ou a tensão sobre um resistor com a polaridade mostrada.
Para uma tensão, encontre primeiro a corrente no resistor e depois use V = I·R.
Use análise de malhas para encontrar a corrente IR2 em R2 no sentido da seta.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
Calcule IR2(A)
Mostrar dicas
Há 2 janelas, então defina 2 correntes de malha no sentido horário (I1, I2) e escreva uma equação LKT por malha.
Na malha 1, todo resistor conduz I1, exceto um resistor compartilhado, que conduz I1 − I2.
Resolvendo, obtém-se I1 = 0,95 A.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Análise de malhas: dê a cada janela de um circuito planar sua própria corrente de laço, escreva a lei das tensões de Kirchhoff em cada laço (soma das quedas = soma das elevações) e resolva. As correntes de ramo são a corrente de malha, ou a diferença de duas correntes de malha em um ramo compartilhado.
Defina as correntes de malha
Desenhe uma corrente no sentido horário em cada janela: I1, I2. Um resistor compartilhado por duas malhas conduz a diferença entre suas correntes.
LKT na malha 1
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10
LKT na malha 2
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0
Resolva
Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A
Resposta
IR2 = I2 = 0,15 A
Uma corrente de malha negativa flui no sentido anti-horário.
Exemplo 2Média
Use análise de malhas para encontrar a corrente de malha I1 (sentido horário).
V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Calcule I1(A)
Mostrar dicas
Há 2 janelas, então defina 2 correntes de malha no sentido horário (I1, I2) e escreva uma equação LKT por malha.
Na malha 1, todo resistor conduz I1, exceto um resistor compartilhado, que conduz I1 − I2.
Resolvendo, obtém-se I1 = −0,3387 A.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Análise de malhas: dê a cada janela de um circuito planar sua própria corrente de laço, escreva a lei das tensões de Kirchhoff em cada laço (soma das quedas = soma das elevações) e resolva. As correntes de ramo são a corrente de malha, ou a diferença de duas correntes de malha em um ramo compartilhado.
Defina as correntes de malha
Desenhe uma corrente no sentido horário em cada janela: I1, I2. Um resistor compartilhado por duas malhas conduz a diferença entre suas correntes.
LKT na malha 1
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15
LKT na malha 2
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24
Resolva
Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A
Resposta
I1 = −0,3387 A
Uma corrente de malha negativa flui no sentido anti-horário.
Exemplo 3Difícil
Use análise de malhas para encontrar a corrente IR4 em R4 no sentido da seta.
Há 3 janelas, então defina 3 correntes de malha no sentido horário (I1, I2, I3) e escreva uma equação LKT por malha.
Na malha 1, todo resistor conduz I1, exceto um resistor compartilhado, que conduz I1 − I2.
Resolvendo, obtém-se I1 = 1,135 A.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Análise de malhas: dê a cada janela de um circuito planar sua própria corrente de laço, escreva a lei das tensões de Kirchhoff em cada laço (soma das quedas = soma das elevações) e resolva. As correntes de ramo são a corrente de malha, ou a diferença de duas correntes de malha em um ramo compartilhado.
Defina as correntes de malha
Desenhe uma corrente no sentido horário em cada janela: I1, I2, I3. Um resistor compartilhado por duas malhas conduz a diferença entre suas correntes.
LKT na malha 1
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36
LKT na malha 2
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0
LKT na malha 3
No sentido horário, as quedas de tensão nos resistores são iguais às elevações de tensão das fontes (de − para + no sentido do percurso).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15
Resolva
Δ = determinante da matriz de coeficientes = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A
Resposta
IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A
Uma corrente de malha negativa flui no sentido anti-horário.
Perguntas e respostas
Análise de malhas: o que é?
A análise de malhas é um método padrão para encontrar as correntes de um circuito. É a parceira da análise nodal: a análise nodal usa tensões como incógnitas, a análise de malhas usa correntes.
Olhe um desenho plano de circuito. As “janelas” vazias cercadas por fios e componentes são chamadas de malhas.
Análise de malhas: como resolver os exercícios passo a passo?
Desenhe uma corrente no sentido horário em cada malha (janela) do circuito.
Aplique a lei das tensões de Kirchhoff em cada malha: a soma das quedas de tensão é zero.
Em um resistor compartilhado por duas malhas, a corrente é a diferença entre as duas correntes de malha.
Resolva as equações; um resultado negativo significa que a corrente circula no sentido oposto.
Análise de malhas: quais são os erros mais comuns?
Usar a corrente de malha inteira em um resistor compartilhado.
Errar o sinal de uma fonte ao percorrer a malha.
Esquecer que uma fonte de corrente em um ramo externo fixa a corrente daquela malha.
Análise de malhas: o que se pratica?
Fácil: 2 malhas, 1 fonte
Média: 2 malhas, 2 fontes
Difícil: 3 malhas
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.