Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (−2x³ + 2x + 5)/(3x³ + 4x + 2).

f(x) = (−2x³ + 2x + 5)/(3x³ + 4x + 2)x → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²), com x em radianos.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·sin(2x), com x em radianos. Calcule f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 2. Calcule a abcissa x do máximo local.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 2

x =

5.OtimizaçãoMédia

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 108000 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre o lado da base x.

V = 108000 cm³

x = cm

6.OtimizaçãoDifícil

Uma pequena empresa vende seu produto a um preço de mercado fixo de €25 por unidade. Produzir q unidades custa C(q) = 2200 + 4q + 0,02q² euros. Encontre o lucro máximo P.

p = €25C = 2200 + 4q + 0,02q²

P = €

7.IntegraisMédia

A região sob y = √(2x), de x = 0 até x = 3, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um paraboloide).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 3

V =

8.IntegraisDifícil

Calcule I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = −0,6667

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Dividir pela maior potência

(−2 + 2/x² + 5/x³)/(3 + 4/x² + 2/x³)

Fazer x → ∞

L = −2/3 = −0,6667

Resposta

L = −0,6667

Para graus iguais o limite é a razão entre os coeficientes dominantes.

2.Limites

Resposta: L = 2

Primeira aplicação

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Segunda aplicação

16·cos 4x/8

Substituir x = 0

L = 16/8 = 2

Resposta

L = 2

3.Derivadas

Resposta: f′(2) = −3,371

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regras do produto e da cadeia

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Substituir

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Resposta

f′(2) = −3,371

4.Derivadas

Resposta: x = 1

Derivada

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Resolver f′(x) = 0

x = 1 ou x = 2

Qual é qual

f″(x) = 6x − 9: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 1

Resposta

x = 1

5.Otimização

Resposta: x = 60 cm

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 432000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Altura e área

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Resposta

x = 60 cm

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: P = 3313 €

Função lucro

P(q) = 25q − (2200 + 4q + 0,02q²) = −0,02q² + 21q − 2200

Igualar a derivada a zero

P″(q) = −0,04 < 0, então este é um máximo.

21 − 0,04q = 0 → q = 525

Lucro máximo

P = 21·525 − 0,02·525² − 2200 = €3313

Resposta

P = €3313

7.Integrais

Resposta: V = 28,27

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Método dos discos

V = π∫₀³ 2x dx

Integrar

V = π·2·3²/2 = 28,27

Resposta

V = 28,27

8.Integrais

Resposta: I = 3,602

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Primeira rodada

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Segunda rodada

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limites

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Resposta

I = 3,602

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