Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x. Dê um valor decimal.

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x²·e^−0,5x. Calcule f′(0,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = 0,5x² − 5x + 1 em x = 2 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = 0,5x² − 5x + 1x = 2

b =

5.OtimizaçãoMédia

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 4000 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre a área de superfície mínima S.

V = 4000 cm³

S = cm²

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 2150 ingressos por sessão a €20 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 50 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 50 a mais). Encontre a receita máxima R por sessão.

2150 × €2050 / €1

R = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x em radianos).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

8.IntegraisDifícil

A região entre a reta y = 3x e a parábola y = 3x² gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido.

y = 3xy = 3x²

V =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 0,3679

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Tomar o logaritmo

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

Calcular

ln(1 + u)/u → 1 quando u → 0, então x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−1) = −1

Desfazer o logaritmo

L = e⁻¹ = 0,3679

Resposta

L = 0,3679

2.Limites

Resposta: L = 4,5

Primeira aplicação

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

9·e^3x/2

Substituir x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Resposta

L = 4,5

3.Derivadas

Resposta: f′(0.5) = 0,6815

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Substituir

f′(0,5) = 0,7788·(1 + (−0,125)) = 0,6815

Resposta

f′(0,5) = 0,6815

4.Derivadas

Resposta: b = −1

Ponto e declive

f(2) = −7

f′(x) = x − 5 → f′(2) = −3

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − (−3)·2 = −1

Resposta

b = −1

5.Otimização

Resposta: S = 1200 cm²

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 16000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Altura e área

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Resposta

S = 1200 cm²

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: R = 49613 €

Receita em função do preço

n(p) = 3150 − 50p

R(p) = 3150p − 50p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −100 < 0, então este é um máximo.

p = 3150/100 = €31,5

Receita máxima

n = 3150 − 50·31,5 = 1575

R = 31,5·1575 = €49613

Resposta

R = €49613

7.Integrais

Resposta: I = 0,4069

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Escolha u e dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limites

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Resposta

I = 0,4069

8.Integrais

Resposta: V = 3,77

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Pontos de interseção

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Método das arruelas

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

Integrar

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Resposta

V = 3,77

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