Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (x² − 6x + 6)/(4x² + 5x + 1).

f(x) = (x² − 6x + 6)/(4x² + 5x + 1)x → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·sin(2x), com x em radianos. Calcule f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = 2x² + 3x + 3 em x = −2 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = 2x² + 3x + 3x = −2

b =

5.OtimizaçãoMédia

Um terreno retangular de 450 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €30 por metro; os outros três lados custam €12 por metro. Encontre o custo total mínimo C.

A = 450 m²€30/m€12/m

C = €

6.OtimizaçãoDifícil

Uma pequena empresa vende seu produto a um preço de mercado fixo de €70 por unidade. Produzir q unidades custa C(q) = 2300 + 40q + 0,05q² euros. Encontre o lucro máximo P.

p = €70C = 2300 + 40q + 0,05q²

P = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀² e^x dx.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 1 − x² e o eixo x.

y = 1 − x²

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 0,25

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Dividir pela maior potência

(1 + (−6)/x + 6/x²)/(4 + 5/x + 1/x²)

Fazer x → ∞

L = 1/4 = 0,25

Resposta

L = 0,25

Para graus iguais o limite é a razão entre os coeficientes dominantes.

2.Limites

Resposta: L = 0,5

Primeira aplicação

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

1·e^x/2

Substituir x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Resposta

L = 0,5

3.Derivadas

Resposta: f′(0.5) = 1,382

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regras do produto e da cadeia

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Substituir

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Resposta

f′(0,5) = 1,382

4.Derivadas

Resposta: b = −5

Ponto e declive

f(−2) = 5

f′(x) = 4x + 3 → f′(−2) = −5

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−5)·(−2) = −5

Resposta

b = −5

5.Otimização

Resposta: C = 1347 €

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Custo como função de x

C(x) = 42x + 10800/x

Igualar a derivada a zero

C″(x) = 21600/x³ > 0, então este é um mínimo.

x = √(10800/42) = 16,04 m

y = 450/16,04 = 28,06 m

Custo mínimo

C = 42·16,04 + 10800/16,04 = €1347

Resposta

C = €1347

6.Otimização

Resposta: P = 2200 €

Função lucro

P(q) = 70q − (2300 + 40q + 0,05q²) = −0,05q² + 30q − 2300

Igualar a derivada a zero

P″(q) = −0,1 < 0, então este é um máximo.

30 − 0,1q = 0 → q = 300

Lucro máximo

P = 30·300 − 0,05·300² − 2300 = €2200

Resposta

P = €2200

7.Integrais

Resposta: I = 6,389

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^x/1

Avaliar nos limites

I = (e² − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Resposta

I = 6,389

8.Integrais

Resposta: A = 1,333

Zeros

1 − x² = 0 → x = ±1

Integrar

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Resposta

A = 1,333

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