Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
Encontre o limite L = limx→∞ (−5x2 − 6x + 9)/(3x2 + 2x + 9).
Encontre o limite L = limx→0 (1 − cos 4x)/(4x²), com x em radianos.
Seja f(x) = (2x + 3)5. Calcule f′(0).
Seja f(x) = x3 + 7,5x2 + 18x − 1. Calcule a abcissa x do máximo local.
Um terreno retangular de 800 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €30 por metro; os outros três lados custam €10 por metro. Encontre o custo total mínimo C.
Um teatro vende 2400 ingressos por sessão a €20 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 50 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 50 a mais). Encontre o preço do ingresso p que maximiza a receita.
Calcule I = ∫₀π/2 x·sin x dx (x em radianos).
Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.
Resposta: L = −1,667
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
Para graus iguais o limite é a razão entre os coeficientes dominantes.
Resposta: L = 2
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
Resposta: f′(0) = 810
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
Resposta: x = −3
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
f″(x) = 6x + 15: negativa num máximo, positiva num mínimo.
Resposta: C = 1600 €
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
C″(x) = 32000/x³ > 0, então este é um mínimo.
Resposta: p = 34 €
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
R″(p) = −100 < 0, então este é um máximo.
Resposta: I = 1
Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.
Resposta: A = 10,67
Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.
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