Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (√(9x² − 6x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 6x) − 3xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = ln(3x² + 5). Calcule f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 5)x = −2

f′(−2) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 3. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 3

x =

5.OtimizaçãoMédia

Um terreno retangular de 300 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €25 por metro; os outros três lados custam €12 por metro. Encontre o comprimento x do lado da rua que minimiza o custo.

A = 300 m²€25/m€12/m

x = m

6.OtimizaçãoDifícil

Uma empresa vende q unidades por semana. O preço pelo qual consegue vendê-las é p = 130 − 0,2q euros por unidade, e o custo é C(q) = 2700 + 70q euros. Encontre o preço p que maximiza o lucro.

p = 130 − 0,2qC = 2700 + 70q

p = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₁³ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 3]

I =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = 0,5x² e y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = −1

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Multiplicar pelo conjugado

f(x) = −6x/(√(9x² − 6x) + 3x)

Dividir por x

f(x) = −6/(√(9 + (−6)/x) + 3)

Fazer x → ∞

L = −6/(3 + 3) = −1

Resposta

L = −1

2.Limites

Resposta: L = 2

Primeira aplicação

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

4·e^2x/2

Substituir x = 0

L = 4·1/2 = 2

Resposta

L = 2

3.Derivadas

Resposta: f′(−2) = −0,7059

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia para o logaritmo

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Substituir

f′(−2) = −12/17 = −0,7059

Resposta

f′(−2) = −0,7059

4.Derivadas

Resposta: x = 4

Derivada

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

Resolver f′(x) = 0

x = 3 ou x = 4

Qual é qual

f″(x) = 6x − 21: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 4

Resposta

x = 4

5.Otimização

Resposta: x = 13,95 m

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Custo como função de x

C(x) = 37x + 7200/x

Igualar a derivada a zero

C″(x) = 14400/x³ > 0, então este é um mínimo.

x = √(7200/37) = 13,95 m

y = 300/13,95 = 21,51 m

Custo mínimo

C = 37·13,95 + 7200/13,95 = €1032

Resposta

x = 13,95 m

6.Otimização

Resposta: p = 100 €

Função lucro

P(q) = (130 − 0,2q)·q − (2700 + 70q) = −0,2q² + 60q − 2700

Igualar a derivada a zero

P″(q) = −0,4 < 0, então este é um máximo.

q = 60/0,4 = 150

Preço e lucro

p = 130 − 0,2·150 = €100

P = 60·150 − 0,2·150² − 2700 = €1800

Resposta

p = €100

7.Integrais

Resposta: I = 3,296

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 3·ln x

Avaliar nos limites

I = 3·(ln 3 − ln 1) = 3·ln 3 = 3,296

Resposta

I = 3,296

8.Integrais

Resposta: A = 5,333

Pontos de interseção

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Resposta

A = 5,333

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