Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta
tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito
divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regra de L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto
(uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

  1. Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
  2. Aplique a regra da potência a cada potência de x.
  3. Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
  4. Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método
escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx

Método

  1. Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
  2. Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para ex, 1/x, sen e cos.
  3. Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
  4. Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia
xyy = L

Encontre o limite L = limx→∞ (−6x3 + 6x + 8)/(2x3 + 6x + 6).

f(x) = (−6x3 + 6x + 8)/(2x3 + 6x + 6)x → ∞
L =
2.LimitesDifícil
xyx = 0

Encontre o limite L = limx→0 (e1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0
L =
3.DerivadasMédia
xyx = 1

Seja f(x) = (2x + 5)3. Calcule f′(1).

f(x) = (2x + 5)3x = 1
f′(1) =
4.DerivadasDifícil
xyx = 2

A reta tangente a f(x) = 2x2 − 2x + 1 em x = 2 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = 2x2 − 2x + 1x = 2
b =
5.OtimizaçãoMédia
xhxsem tampa

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 4000 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre a área de superfície mínima S.

V = 4000 cm³
S = cm²
6.OtimizaçãoDifícil
qP(q)máximo

Uma pequena empresa vende seu produto a um preço de mercado fixo de €65 por unidade. Produzir q unidades custa C(q) = 14400 + 34q + 0,01q² euros. Encontre a produção q que maximiza o lucro.

p = €65C = 14400 + 34q + 0,01q²
q = unidades
7.IntegraisMédia
xy2y = x·sin x

Calcule I = ∫₀2 x·sin x dx (x em radianos).

∫₀2 x·sin x dx
I =
8.IntegraisDifícil
xy−22

Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.

y = 4 − x²
A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = −3

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Dividir pela maior potência

(−6 + 6/x2 + 8/x3)/(2 + 6/x2 + 6/x3)

Fazer x → ∞

L = −6/2 = −3

Resposta

L = −3

Para graus iguais o limite é a razão entre os coeficientes dominantes.

2.Limites

Resposta: L = 1,125

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Primeira aplicação

(1,5·e1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

2,25·e1,5x/2

Substituir x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Resposta

L = 1,125
3.Derivadas

Resposta: f′(1) = 294

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia

f′(x) = 3·(2x + 5)2·2

Substituir

f′(1) = 3·72·2 = 294

Resposta

f′(1) = 294
4.Derivadas

Resposta: b = −7

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Ponto e declive

f(2) = 5
f′(x) = 4x − 2 → f′(2) = 6

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 6·2 = −7

Resposta

b = −7
5.Otimização

Resposta: S = 1200 cm²

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 16000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Altura e área

h = 4000/20² = 10 cm
S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Resposta

S = 1200 cm²

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: q = 1550 unidades

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Função lucro

P(q) = 65q − (14400 + 34q + 0,01q²) = −0,01q2 + 31q − 14400

Igualar a derivada a zero

P″(q) = −0,02 < 0, então este é um máximo.

31 − 0,02q = 0 → q = 1550

Lucro máximo

P = 31·1550 − 0,01·1550² − 14400 = €9625

Resposta

q = 1550
7.Integrais

Resposta: I = 1,742

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Escolha u e dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitiva

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limites

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Resposta

I = 1,742
8.Integrais

Resposta: A = 10,67

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Zeros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Resposta

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1