Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (4x² + 5x − 2)/(3x² + 4x + 4).

f(x) = (4x² + 5x − 2)/(3x² + 4x + 4)x → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·sin(x), com x em radianos. Calcule f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = 3x² − 5x + 5 em x = 3 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = 3x² − 5x + 5x = 3

b =

5.OtimizaçãoMédia

Um terreno retangular de 450 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €40 por metro; os outros três lados custam €5 por metro. Encontre o custo total mínimo C.

A = 450 m²€40/m€5/m

C = €

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 1400 ingressos por sessão a €20 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 50 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 50 a mais). Encontre a receita máxima R por sessão.

1400 × €2050 / €1

R = €

7.IntegraisMédia

A região sob y = 2x, de x = 0 até x = 1, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um cone).

y = 2x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.IntegraisDifícil

Calcule I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 1,333

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Dividir pela maior potência

(4 + 5/x + (−2)/x²)/(3 + 4/x + 4/x²)

Fazer x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Resposta

L = 1,333

Para graus iguais o limite é a razão entre os coeficientes dominantes.

2.Limites

Resposta: L = 0,125

Primeira aplicação

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

0,25·e^0,5x/2

Substituir x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Resposta

L = 0,125

3.Derivadas

Resposta: f′(2) = 0,077

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regras do produto e da cadeia

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Substituir

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Resposta

f′(2) = 0,077

4.Derivadas

Resposta: b = −22

Ponto e declive

f(3) = 17

f′(x) = 6x − 5 → f′(3) = 13

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 17 − 13·3 = −22

Resposta

b = −22

5.Otimização

Resposta: C = 900 €

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Custo como função de x

C(x) = 45x + 4500/x

Igualar a derivada a zero

C″(x) = 9000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x = √(4500/45) = 10 m

y = 450/10 = 45 m

Custo mínimo

C = 45·10 + 4500/10 = €900

Resposta

C = €900

6.Otimização

Resposta: R = 28800 €

Receita em função do preço

n(p) = 2400 − 50p

R(p) = 2400p − 50p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −100 < 0, então este é um máximo.

p = 2400/100 = €24

Receita máxima

n = 2400 − 50·24 = 1200

R = 24·1200 = €28800

Resposta

R = €28800

7.Integrais

Resposta: V = 4,189

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Método dos discos

V = π∫₀¹ 4x² dx

Integrar

V = π·4·1³/3 = 4,189

Resposta

V = 4,189

Verificação: um cone de raio 2 e altura 1 tem (1/3)πr²h = 4,189.

8.Integrais

Resposta: I = 0,0609

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Primeira rodada

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Segunda rodada

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limites

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Resposta

I = 0,0609

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