Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (√(x² − 10x) − x).

f(x) = √(x² − 10x) − xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x²·e^2x. Calcule f′(1).

f(x) = x²·e^2xx = 1

f′(1) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 4. Calcule a abcissa x do máximo local.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 4

x =

5.OtimizaçãoMédia

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 32000 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre a área de superfície mínima S.

V = 32000 cm³

S = cm²

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 875 ingressos por sessão a €15 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 25 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 25 a mais). Encontre o preço do ingresso p que maximiza a receita.

875 × €1525 / €1

p = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀¹ x·cos x dx (x em radianos).

∫₀¹ x·cos x dx

I =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.

y = 4 − x²

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = −5

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Multiplicar pelo conjugado

f(x) = −10x/(√(x² − 10x) + x)

Dividir por x

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

Fazer x → ∞

L = −10/(1 + 1) = −5

Resposta

L = −5

2.Limites

Resposta: L = 0,5

Primeira aplicação

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

1·e^x/2

Substituir x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Resposta

L = 0,5

3.Derivadas

Resposta: f′(1) = 29,56

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

Substituir

f′(1) = 7,389·(2 + 2) = 29,56

Resposta

f′(1) = 29,56

4.Derivadas

Resposta: x = −3

Derivada

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

Resolver f′(x) = 0

x = −3 ou x = −2

Qual é qual

f″(x) = 6x + 15: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −3

Resposta

x = −3

5.Otimização

Resposta: S = 4800 cm²

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 128000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Altura e área

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Resposta

S = 4800 cm²

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: p = 25 €

Receita em função do preço

n(p) = 1250 − 25p

R(p) = 1250p − 25p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −50 < 0, então este é um máximo.

p = 1250/50 = €25

Receita máxima

n = 1250 − 25·25 = 625

R = 25·625 = €15625

Resposta

p = €25

7.Integrais

Resposta: I = 0,3818

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Escolha u e dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limites

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Resposta

I = 0,3818

8.Integrais

Resposta: A = 10,67

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Zeros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Resposta

A = 10,67

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