Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (−2x² + 5)/(5x² + x + 3).

f(x) = (−2x² + 5)/(5x² + x + 3)x → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = (2x + 1)⁵. Calcule f′(−1).

f(x) = (2x + 1)⁵x = −1

f′(−1) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ − 12x² + 45x + 1. Calcule a abcissa x do máximo local.

f(x) = x³ − 12x² + 45x + 1

x =

5.OtimizaçãoMédia

Um terreno retangular de 450 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €30 por metro; os outros três lados custam €10 por metro. Encontre o comprimento x do lado da rua que minimiza o custo.

A = 450 m²€30/m€10/m

x = m

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 1560 ingressos por sessão a €20 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 40 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 40 a mais). Encontre o preço do ingresso p que maximiza a receita.

1560 × €2040 / €1

p = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀² x·sin x dx (x em radianos).

∫₀² x·sin x dx

I =

8.IntegraisDifícil

A região entre a reta y = x e a parábola y = 0,5x² gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido.

y = xy = 0,5x²

V =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = −0,4

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Dividir pela maior potência

(−2 + 5/x²)/(5 + 1/x + 3/x²)

Fazer x → ∞

L = −2/5 = −0,4

Resposta

L = −0,4

Para graus iguais o limite é a razão entre os coeficientes dominantes.

2.Limites

Resposta: L = 0,5

Primeira aplicação

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

1·e^−x/2

Substituir x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Resposta

L = 0,5

3.Derivadas

Resposta: f′(−1) = 10

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia

f′(x) = 5·(2x + 1)⁴·2

Substituir

f′(−1) = 5·(−1)⁴·2 = 10

Resposta

f′(−1) = 10

4.Derivadas

Resposta: x = 3

Derivada

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

Resolver f′(x) = 0

x = 3 ou x = 5

Qual é qual

f″(x) = 6x − 24: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 3

Resposta

x = 3

5.Otimização

Resposta: x = 15 m

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Custo como função de x

C(x) = 40x + 9000/x

Igualar a derivada a zero

C″(x) = 18000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x = √(9000/40) = 15 m

y = 450/15 = 30 m

Custo mínimo

C = 40·15 + 9000/15 = €1200

Resposta

x = 15 m

6.Otimização

Resposta: p = 29,5 €

Receita em função do preço

n(p) = 2360 − 40p

R(p) = 2360p − 40p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −80 < 0, então este é um máximo.

p = 2360/80 = €29,5

Receita máxima

n = 2360 − 40·29,5 = 1180

R = 29,5·1180 = €34810

Resposta

p = €29,5

7.Integrais

Resposta: I = 1,742

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Escolha u e dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitiva

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limites

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Resposta

I = 1,742

8.Integrais

Resposta: V = 3,351

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Pontos de interseção

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Método das arruelas

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Integrar

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Resposta

V = 3,351

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