Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x. Dê um valor decimal.

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(5x), com x em radianos.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(5x)x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x·e^0,5x. Calcule f′(0,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 1. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 1

x =

5.OtimizaçãoMédia

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 32000 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre a altura h.

V = 32000 cm³

h = cm

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 1325 ingressos por sessão a €25 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 25 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 25 a mais). Encontre o preço do ingresso p que maximiza a receita.

1325 × €2525 / €1

p = €

7.IntegraisMédia

A região sob y = x, de x = 0 até x = 1, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um cone).

y = x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = x² e y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 0,3679

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Tomar o logaritmo

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

Calcular

ln(1 + u)/u → 1 quando u → 0, então x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−1) = −1

Desfazer o logaritmo

L = e⁻¹ = 0,3679

Resposta

L = 0,3679

2.Limites

Resposta: L = 0,8

Regra de L'Hôpital

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[5·cos 5x]

Substituir x = 0

L = 4/5 = 0,8

Resposta

L = 0,8

3.Derivadas

Resposta: f′(0.5) = 1,605

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Substituir

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,25) = 1,605

Resposta

f′(0,5) = 1,605

4.Derivadas

Resposta: x = −1

Derivada

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

Resolver f′(x) = 0

x = −4 ou x = −1

Qual é qual

f″(x) = 6x + 15: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

Resposta

x = −1

5.Otimização

Resposta: h = 20 cm

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 128000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Altura e área

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Resposta

h = 20 cm

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: p = 39 €

Receita em função do preço

n(p) = 1950 − 25p

R(p) = 1950p − 25p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −50 < 0, então este é um máximo.

p = 1950/50 = €39

Receita máxima

n = 1950 − 25·39 = 975

R = 39·975 = €38025

Resposta

p = €39

7.Integrais

Resposta: V = 1,047

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Método dos discos

V = π∫₀¹ 1x² dx

Integrar

V = π·1·1³/3 = 1,047

Resposta

V = 1,047

Verificação: um cone de raio 1 e altura 1 tem (1/3)πr²h = 1,047.

8.Integrais

Resposta: A = 10,67

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Pontos de interseção

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Resposta

A = 10,67

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