Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (6x² + 5x − 8)/(3x² + 4x + 3).

f(x) = (6x² + 5x − 8)/(3x² + 4x + 3)x → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = ln(x² + 1). Calcule f′(1).

f(x) = ln(x² + 1)x = 1

f′(1) =

4.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = 0,5x² − 2x − 6 em x = 3 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = 0,5x² − 2x − 6x = 3

b =

5.OtimizaçãoMédia

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 13500 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre o lado da base x.

V = 13500 cm³

x = cm

6.OtimizaçãoDifícil

Uma empresa vende q unidades por semana. O preço pelo qual consegue vendê-las é p = 160 − 0,1q euros por unidade, e o custo é C(q) = 3200 + 95q euros. Encontre o preço p que maximiza o lucro.

p = 160 − 0,1qC = 3200 + 95q

p = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.

y = 4 − x²

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 2

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Dividir pela maior potência

(6 + 5/x + (−8)/x²)/(3 + 4/x + 3/x²)

Fazer x → ∞

L = 6/3 = 2

Resposta

L = 2

Para graus iguais o limite é a razão entre os coeficientes dominantes.

2.Limites

Resposta: L = 0,125

Primeira aplicação

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

0,25·e^0,5x/2

Substituir x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Resposta

L = 0,125

3.Derivadas

Resposta: f′(1) = 1

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia para o logaritmo

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Substituir

f′(1) = 2/2 = 1

Resposta

f′(1) = 1

4.Derivadas

Resposta: b = −10,5

Ponto e declive

f(3) = −7,5

f′(x) = x − 2 → f′(3) = 1

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7,5 − 1·3 = −10,5

Resposta

b = −10,5

5.Otimização

Resposta: x = 30 cm

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 54000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Altura e área

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Resposta

x = 30 cm

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: p = 127,5 €

Função lucro

P(q) = (160 − 0,1q)·q − (3200 + 95q) = −0,1q² + 65q − 3200

Igualar a derivada a zero

P″(q) = −0,2 < 0, então este é um máximo.

q = 65/0,2 = 325

Preço e lucro

p = 160 − 0,1·325 = €127,5

P = 65·325 − 0,1·325² − 3200 = €7363

Resposta

p = €127,5

7.Integrais

Resposta: I = 1,5

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Substituição

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integrar e avaliar

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Resposta

I = 1,5

8.Integrais

Resposta: A = 10,67

Zeros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Resposta

A = 10,67

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