Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (√(x² + 2x) − x).

f(x) = √(x² + 2x) − xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x), com x em radianos.

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x²·e^−x. Calcule f′(1).

f(x) = x²·e^−xx = 1

f′(1) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ − 4,5x² + 6x + 2. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x + 2

x =

5.OtimizaçãoMédia

Um terreno retangular de 450 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €40 por metro; os outros três lados custam €5 por metro. Encontre o custo total mínimo C.

A = 450 m²€40/m€5/m

C = €

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 850 ingressos por sessão a €10 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 25 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 25 a mais). Encontre a receita máxima R por sessão.

850 × €1025 / €1

R = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₂⁸ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = 0,5x² e y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 1

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Multiplicar pelo conjugado

f(x) = 2x/(√(x² + 2x) + x)

Dividir por x

f(x) = 2/(√(1 + 2/x) + 1)

Fazer x → ∞

L = 2/(1 + 1) = 1

Resposta

L = 1

2.Limites

Resposta: L = 0,3333

Regra de L'Hôpital

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

Substituir x = 0

L = 1/3 = 0,3333

Resposta

L = 0,3333

3.Derivadas

Resposta: f′(1) = 0,3679

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

Substituir

f′(1) = 0,3679·(2 + (−1)) = 0,3679

Resposta

f′(1) = 0,3679

4.Derivadas

Resposta: x = 2

Derivada

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Resolver f′(x) = 0

x = 1 ou x = 2

Qual é qual

f″(x) = 6x − 9: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 2

Resposta

x = 2

5.Otimização

Resposta: C = 900 €

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Custo como função de x

C(x) = 45x + 4500/x

Igualar a derivada a zero

C″(x) = 9000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x = √(4500/45) = 10 m

y = 450/10 = 45 m

Custo mínimo

C = 45·10 + 4500/10 = €900

Resposta

C = €900

6.Otimização

Resposta: R = 12100 €

Receita em função do preço

n(p) = 1100 − 25p

R(p) = 1100p − 25p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −50 < 0, então este é um máximo.

p = 1100/50 = €22

Receita máxima

n = 1100 − 25·22 = 550

R = 22·550 = €12100

Resposta

R = €12100

7.Integrais

Resposta: I = 4,159

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 3·ln x

Avaliar nos limites

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159

Resposta

I = 4,159

8.Integrais

Resposta: A = 5,333

Pontos de interseção

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Resposta

A = 5,333

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