Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
Encontre o limite L = limx→∞ (√(9x2 − 8x) − 3x).
Encontre o limite L = limx→0 (1 − cos 5x)/(3x²), com x em radianos.
Seja f(x) = x·sin(3x), com x em radianos. Calcule f′(1,5).
A reta tangente a f(x) = −x2 − 5x − 3 em x = −1 corta o eixo y em y = b. Calcule b.
Uma lata cilíndrica fechada (com tampa e fundo) deve conter 750 cm³. O metal usado é proporcional à área total da superfície. Encontre a altura h da lata que usa o mínimo de material.
Uma pequena empresa vende seu produto a um preço de mercado fixo de €30 por unidade. Produzir q unidades custa C(q) = 600 + 12q + 0,05q² euros. Encontre o lucro máximo P.
Calcule I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.
Calcule a área A da região entre a parábola y = 9 − x² e o eixo x.
Resposta: L = −1,333
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
Resposta: L = 4,167
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
Resposta: f′(1.5) = −1,926
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
Resposta: b = −2
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
Resposta: h = 9,847 cm
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, então este é um mínimo.
A lata fechada mais econômica é tão alta quanto larga: h = 2r.
Resposta: P = 1020 €
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
P″(q) = −0,1 < 0, então este é um máximo.
Resposta: I = 41,33
Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.
Resposta: A = 36
Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1