Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (√(x² + 6x) − x).

f(x) = √(x² + 6x) − xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = x³·e^−x. Calcule f′(2).

f(x) = x³·e^−xx = 2

f′(2) =

4.DerivadasDifícil

A reta tangente a f(x) = 0,5x² − 3x − 5 em x = −1 corta o eixo y em y = b. Calcule b.

f(x) = 0,5x² − 3x − 5x = −1

b =

5.OtimizaçãoMédia

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 500 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre a área de superfície mínima S.

V = 500 cm³

S = cm²

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 190 ingressos por sessão a €10 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 10 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 10 a mais). Encontre o preço do ingresso p que maximiza a receita.

190 × €1010 / €1

p = €

7.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀¹ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 1]

I =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 9 − x² e o eixo x.

y = 9 − x²

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 3

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Multiplicar pelo conjugado

f(x) = 6x/(√(x² + 6x) + x)

Dividir por x

f(x) = 6/(√(1 + 6/x) + 1)

Fazer x → ∞

L = 6/(1 + 1) = 3

Resposta

L = 3

2.Limites

Resposta: L = 2

Primeira aplicação

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

4·e^−2x/2

Substituir x = 0

L = 4·1/2 = 2

Resposta

L = 2

3.Derivadas

Resposta: f′(2) = 0,5413

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Substituir

f′(2) = 0,1353·(12 + (−8)) = 0,5413

Resposta

f′(2) = 0,5413

4.Derivadas

Resposta: b = −5,5

Ponto e declive

f(−1) = −1,5

f′(x) = x − 3 → f′(−1) = −4

Reta tangente em x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1,5 − (−4)·(−1) = −5,5

Resposta

b = −5,5

5.Otimização

Resposta: S = 300 cm²

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 2000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Altura e área

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Resposta

S = 300 cm²

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: p = 14,5 €

Receita em função do preço

n(p) = 290 − 10p

R(p) = 290p − 10p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −20 < 0, então este é um máximo.

p = 290/20 = €14,5

Receita máxima

n = 290 − 10·14,5 = 145

R = 14,5·145 = €2103

Resposta

p = €14,5

7.Integrais

Resposta: I = 1,297

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^0,5x/0,5

Avaliar nos limites

I = (e^0,5 − 1)/0,5 = (1,649 − 1)/0,5 = 1,297

Resposta

I = 1,297

8.Integrais

Resposta: A = 36

Zeros

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrar

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Resposta

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1