Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
Encontre o limite L = limx→∞ (1 + 1/x)2x. Dê um valor decimal.
Encontre o limite L = limx→0 (1 − cos 4x)/(4x²), com x em radianos.
Seja f(x) = x·sin(x), com x em radianos. Calcule f′(0,5).
A reta tangente a f(x) = 0,5x2 − 2x − 1 em x = −2 corta o eixo y em y = b. Calcule b.
Uma lata cilíndrica fechada (com tampa e fundo) deve conter 400 cm³. O metal usado é proporcional à área total da superfície. Encontre a menor área de superfície possível A.
Uma empresa vende q unidades por semana. O preço pelo qual consegue vendê-las é p = 110 − 0,5q euros por unidade, e o custo é C(q) = 200 + 65q euros. Encontre o preço p que maximiza o lucro.
Calcule I = ∫₀π x·cos x dx (x em radianos).
A região entre a reta y = x e a parábola y = 0,5x² gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido.
Resposta: L = 7,389
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
ln(1 + u)/u → 1 quando u → 0, então x·ln(1 + a/x) → a.
Resposta: L = 2
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
Resposta: f′(0.5) = 0,9182
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
Resposta: b = −3
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
Resposta: A = 300,5 cm²
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, então este é um mínimo.
A lata fechada mais econômica é tão alta quanto larga: h = 2r.
Resposta: p = 87,5 €
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
P″(q) = −1 < 0, então este é um máximo.
Resposta: I = −2
Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.
Resposta: V = 3,351
Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.
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