Cálculo 1: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Limites

Substituição direta: tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito: divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regra de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Otimização

Método: escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

2Exercícios

1.LimitesMédia

Encontre o limite L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^x. Dê um valor decimal.

f(x) = (1 + 0,5/x)^xx → ∞

L =

2.LimitesDifícil

Encontre o limite L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²), com x em radianos.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.DerivadasMédia

Seja f(x) = ln(3x² + 5). Calcule f′(2).

f(x) = ln(3x² + 5)x = 2

f′(2) =

4.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ + 1,5x² − 6x − 5. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ + 1,5x² − 6x − 5

x =

5.OtimizaçãoMédia

Uma caixa aberta (sem tampa) de base quadrada deve conter 32000 cm³. Use o mínimo de material possível, ou seja, a menor área da base mais as quatro laterais. Encontre a altura h.

V = 32000 cm³

h = cm

6.OtimizaçãoDifícil

Um teatro vende 500 ingressos por sessão a €10 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 25 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 25 a mais). Encontre o preço do ingresso p que maximiza a receita.

500 × €1025 / €1

p = €

7.IntegraisMédia

A região sob y = 0,5x, de x = 0 até x = 4, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um cone).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 4

V =

8.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 9 − x² e o eixo x.

y = 9 − x²

A =

3Soluções

1.Limites

Resposta: L = 1,649

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Tomar o logaritmo

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 0,5/x)

Calcular

ln(1 + u)/u → 1 quando u → 0, então x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0,5 = 0,5

Desfazer o logaritmo

L = e^0,5 = 1,649

Resposta

L = 1,649

2.Limites

Resposta: L = 12,5

Primeira aplicação

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Segunda aplicação

25·cos 5x/2

Substituir x = 0

L = 25/2 = 12,5

Resposta

L = 12,5

3.Derivadas

Resposta: f′(2) = 0,7059

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia para o logaritmo

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Substituir

f′(2) = 12/17 = 0,7059

Resposta

f′(2) = 0,7059

4.Derivadas

Resposta: x = 1

Derivada

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

Resolver f′(x) = 0

x = −2 ou x = 1

Qual é qual

f″(x) = 6x + 3: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = 1

Resposta

x = 1

5.Otimização

Resposta: h = 20 cm

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de x

S(x) = x² + 128000/x

Igualar a derivada a zero

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, então este é um mínimo.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Altura e área

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Resposta

h = 20 cm

A melhor caixa aberta tem altura igual à metade da largura.

6.Otimização

Resposta: p = 15 €

Receita em função do preço

n(p) = 750 − 25p

R(p) = 750p − 25p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −50 < 0, então este é um máximo.

p = 750/50 = €15

Receita máxima

n = 750 − 25·15 = 375

R = 15·375 = €5625

Resposta

p = €15

7.Integrais

Resposta: V = 16,76

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Método dos discos

V = π∫₀⁴ 0,25x² dx

Integrar

V = π·0,25·4³/3 = 16,76

Resposta

V = 16,76

Verificação: um cone de raio 2 e altura 4 tem (1/3)πr²h = 16,76.

8.Integrais

Resposta: A = 36

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Zeros

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrar

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Resposta

A = 36

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