Cálculo 2: pacote de revisão

Integração por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir da regra do produto. Escolha como u o fator que fica mais simples quando você o deriva (uma potência de x ou ln x) e como dv o fator que você sabe integrar (eˣ, sen x, cos x ou x quando u = ln x). Para uma integral definida, calcule u·v nos dois limites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Um fator x² exige duas rodadas.

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|; teste da raiz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |c_k/c_k+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.

Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) aponta na direção de maior crescimento, e |∇f| é a maior taxa de variação. A derivada direcional ao longo de uma direção v é D_uf = ∇f·u com o vetor unitário u = v/|v|. O plano tangente em (a, b) é z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ele dá a aproximação linear de f perto desse ponto. Regra da cadeia: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Pontos críticos e integrais duplas: um ponto crítico tem f_x = f_y = 0. Teste da segunda derivada com D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 é um mínimo local, D > 0 e f_xx < 0 um máximo local, D < 0 um ponto de sela, e D = 0 não decide nada. Para uma integral dupla sobre uma região geral, faça dos limites internos as curvas que delimitam a região; para discos e setores use coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (não esqueça o fator r).

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·e^kt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.