Cálculo 2: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Sequências e séries

Sequência aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinômio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo de várias variáveis

Derivadas parciais: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direcional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regra da cadeia: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Teste da segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral dupla: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

Para uma derivada parcial, trate a outra variável como constante e use as regras de uma variável.
Para questões de gradiente calcule ∇f = (f_x, f_y) no ponto; use |∇f| para a maior inclinação e ∇f·u com um vetor unitário u para uma derivada direcional.
Para extremos resolva f_x = 0 e f_y = 0 juntos e depois classifique cada ponto com D = f_xx·f_yy − f_xy².
Para uma integral dupla esboce a região, escolha a ordem (ou coordenadas polares para discos) de modo que os limites internos sejam as curvas de contorno, e integre primeiro por dentro.

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Exercícios

1.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

2.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região limitada por y = 2x² e y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

3.Sequências e sériesMédia

Aplique o teste da razão a Σ_k=1^∞ 2ᵏ·k!/kᵏ. Encontre L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = 2ᵏ·k!/kᵏ

L =

4.Sequências e sériesDifícil

f(x) = eˣ é aproximada em x = 2 pelo seu polinômio de Maclaurin de grau n. Com a cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! e M = 8, encontre o menor grau n que garante um erro abaixo de 0,001.

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,001

n =

5.Cálculo de várias variáveisMédia

z = −2x³y + 4x² − 5y² − 4xy com x = 3t − 1 e y = −t². Use a regra da cadeia para encontrar dz/dt em t = 1.

z = −2x³y + 4x² − 5y² − 4xyx = 3t − 1y = −t²t = 1

dz/dt =

6.Cálculo de várias variáveisDifícil

Use coordenadas polares para calcular I = ∬_R e^{−(x² + y²)} dA, em que R é o quarto do disco x² + y² ≤ 1 no primeiro quadrante.

f = e^{−(x² + y²)}0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π/2

I =

7.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 2y′ + y = 0 com y(0) = 5 e y′(0) = -1. Encontre y(2).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = -1

y(2) =

8.Equações diferenciaisDifícil

Resolva y″ + 2y′ + 5y = 0 com y(0) = 10 e y′(0) = 0 (solto a partir do repouso). Encontre y(1); ângulos em radianos.

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1) =

3Soluções

1.Integrais

Resposta: I = 41,33

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Substituição

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Integrar e avaliar

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Resposta

I = 41,33

2.Integrais

Resposta: A = 1,125

Pontos de interseção

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Integrar superior menos inferior

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Resposta

A = 1,125

3.Sequências e séries

Resposta: L = 0,7358

Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|; teste da raiz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |c_k/c_k+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.

Razão entre termos consecutivos

|a_k+1/a_k| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

Conclusão

L = 0,7358 < 1

Resposta

L = 0,7358

L < 1, então a série converge.

4.Sequências e séries

Resposta: n = 10

Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.

Cotas para n crescente

n = 9: 0,002257 ≥ 0,001

n = 10: 0,0004105 < 0,001

Menor grau

n = 10

Resposta

n = 10

5.Cálculo de várias variáveis

Resposta: dz/dt = 160

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) aponta na direção de maior crescimento, e |∇f| é a maior taxa de variação. A derivada direcional ao longo de uma direção v é D_uf = ∇f·u com o vetor unitário u = v/|v|. O plano tangente em (a, b) é z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ele dá a aproximação linear de f perto desse ponto. Regra da cadeia: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Ponto e taxas

x(1) = 2, y(1) = −1

dx/dt = 3, dy/dt = −2t = −2

Derivadas parciais

f_x = −6x²y + 8x − 4y = 44

f_y = −2x³ − 10y − 4x = −14

Regra da cadeia

dz/dt = 44·3 + (−14)·(−2) = 160

Resposta

dz/dt = 160

6.Cálculo de várias variáveis

Resposta: I = 0,4965

Pontos críticos e integrais duplas: um ponto crítico tem f_x = f_y = 0. Teste da segunda derivada com D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 é um mínimo local, D > 0 e f_xx < 0 um máximo local, D < 0 um ponto de sela, e D = 0 não decide nada. Para uma integral dupla sobre uma região geral, faça dos limites internos as curvas que delimitam a região; para discos e setores use coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (não esqueça o fator r).

Forma polar

I = ∫₀^π/2 ∫₀¹ e^−r²·r dr dθ

Integrar

∫ e^−r²·r dr = [−e^−r²/2]

I = 0,4965

Resposta

I = 0,4965

7.Equações diferenciais

Resposta: y(2) = 1,759

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raiz dupla

(r + 1)² = 0 → r = −1

Constantes

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 1A → B = -1 + 5 = 4

Calcular

y(2) = (5 + 4·2)·e⁻² = 1,759

Resposta

y(2) = 1,759

8.Equações diferenciais

Resposta: y(1) = 0,1416

Raízes complexas

r = −1 ± 2j

Constantes

A = 10, B = 1·10/2 = 5

Calcular

y(1) = e⁻¹(10·cos 2 + 5·sin 2) = 0,1416

Resposta

y(1) = 0,1416

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