Cálculo 2: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Sequências e séries

Sequência aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinômio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo de várias variáveis

Derivadas parciais: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direcional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regra da cadeia: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Teste da segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral dupla: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

Para uma derivada parcial, trate a outra variável como constante e use as regras de uma variável.
Para questões de gradiente calcule ∇f = (f_x, f_y) no ponto; use |∇f| para a maior inclinação e ∇f·u com um vetor unitário u para uma derivada direcional.
Para extremos resolva f_x = 0 e f_y = 0 juntos e depois classifique cada ponto com D = f_xx·f_yy − f_xy².
Para uma integral dupla esboce a região, escolha a ordem (ou coordenadas polares para discos) de modo que os limites internos sejam as curvas de contorno, e integre primeiro por dentro.

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Exercícios

1.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

2.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.

y = 4 − x²

A =

3.Sequências e sériesMédia

Encontre a soma S = Σ_k=1^∞ 4/(k(k + 1)).

a_k = 4/(k(k + 1))

S =

4.Sequências e sériesDifícil

Use o polinômio de Maclaurin de grau 3 de f(x) = e^0,5x para aproximar f(2,5). Dê P₃(2,5).

f(x) = e^0,5xn = 3x = 2,5

P₃(2.5) =

5.Cálculo de várias variáveisMédia

O plano tangente a z = 5xy² − 3x² − 4y² + 4xy no ponto onde (x, y) = (1, 3) pode ser escrito como z = px + qy + c. Encontre c.

f(x, y) = 5xy² − 3x² − 4y² + 4xy(a, b) = (1, 3)

c =

6.Cálculo de várias variáveisDifícil

Os pontos marcados são os pontos críticos de f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y. Clique no máximo local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y

1A (−1, −1)
2B (1, −1)

7.Equações diferenciaisMédia

Uma peça de aço forjado a 400 °C é deixada esfriando em uma oficina a 20 °C. Após 34 min sua temperatura é 213 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Encontre a constante k em min⁻¹.

T₀ = 400 °CT_a = 20 °CT(34) = 213 °C

k = min⁻¹

8.Equações diferenciaisDifícil

Resolva o problema de valor inicial y′ + 3y/x = 3x para x > 0, com y(1) = 3. Encontre y(3).

y′ + 3y/x = 3xy(1) = 3

y(3) =

3Soluções

1.Integrais

Resposta: I = 0,9502

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^−x/(−1)

Avaliar nos limites

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Resposta

I = 0,9502

2.Integrais

Resposta: A = 10,67

Zeros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Resposta

A = 10,67

3.Sequências e séries

Resposta: S = 4

Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|; teste da raiz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |c_k/c_k+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.

Frações parciais

4/(k(k + 1)) = 4·(1/k − 1/(k + 1))

Cancelar

S = 4·1 = 4

Resposta

S = 4

4.Sequências e séries

Resposta: P₃(2.5) = 3,357

Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.

Polinômio de Maclaurin

P₃(x) = 1 + 0,5x + 0,125x² + 0,02083x³

Substituir

P₃(2,5) = 1 + 1,25 + 0,78125 + 0,325521 = 3,357

Resposta

P₃(2,5) = 3,357

O valor exato é f(2,5) = 3,490343; o erro 0,133572 diminui quando você toma mais termos ou um ponto mais próximo de 0.

5.Cálculo de várias variáveis

Resposta: c = −63

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) aponta na direção de maior crescimento, e |∇f| é a maior taxa de variação. A derivada direcional ao longo de uma direção v é D_uf = ∇f·u com o vetor unitário u = v/|v|. O plano tangente em (a, b) é z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); ele dá a aproximação linear de f perto desse ponto. Regra da cadeia: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Valor e inclinações no ponto

f(1, 3) = 18

f_x = 5y² − 6x + 4y → f_x(1, 3) = 51

f_y = 10xy − 8y + 4x → f_y(1, 3) = 10

Plano tangente

z = 18 + 51(x − 1) + 10(y − 3)

z = 51x + 10y − 63

Termo constante

c = −63

Resposta

c = −63

6.Cálculo de várias variáveis

Resposta: B (1, −1)

Pontos críticos e integrais duplas: um ponto crítico tem f_x = f_y = 0. Teste da segunda derivada com D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 e f_xx > 0 é um mínimo local, D > 0 e f_xx < 0 um máximo local, D < 0 um ponto de sela, e D = 0 não decide nada. Para uma integral dupla sobre uma região geral, faça dos limites internos as curvas que delimitam a região; para discos e setores use coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (não esqueça o fator r).

Pontos críticos

Resolva f_x = 0 e f_y = 0 juntos.

f_x = −(3x² − 3) = 0

f_y = −(2y + 2) = 0

(1, −1), (−1, −1)

Teste da segunda derivada

(1, −1): f_xx = −6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 12 → máximo local

(−1, −1): f_xx = 6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −12 → ponto de sela

O ponto

B (1, −1): máximo local

Resposta

B (1, −1)

7.Equações diferenciais

Resposta: k = 0,01993 min⁻¹

Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·e^kt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.

Razão das diferenças de temperatura

e^−34k = 193/380

Resolver para k

k = ln(380/193)/34 = 0,01993 min⁻¹

Resposta

k = 0,01993 min⁻¹

8.Equações diferenciais

Resposta: y(3) = 5,489

Fator integrante

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integrar

(x³y)′ = 3x⁴ → x³y = 3x⁵/5 + C

Condição inicial

3 = 3/5 + C → C = 2,4

Calcular

y(3) = (3·3⁵/5 + 2,4)/3³ = 5,489

Resposta

y(3) = 5,489

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