Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
Calcule I = ∫02 2x·(x² + 1)1 dx.
Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.
A série de potências Σk=1∞ (2k)!·(x + 1)ᵏ/(k!)² converge num intervalo em torno de x₀ = −1. Encontre a extremidade esquerda x desse intervalo.
f(x) = ln(1 + x) é aproximada pelo seu polinômio de Maclaurin de grau 2 em x = 0,2. Use a cota de erro de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! com M = 2! = 2 para encontrar o maior erro possível |R₂|.
Para f(x, y) = −y·e−xy, encontre a derivada direcional Duf em P(0,5, 0,5) na direção de Q(4,5, −1,5).
A integral I = ∫01 ∫x1 ey² dy dx não pode ser calculada nesta ordem. Inverta a ordem de integração e calcule-a.
Uma xícara de café a 81 °C é deixada em uma sala a 20 °C. Após 24 min sua temperatura é 50 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Encontre a constante k em min⁻¹.
Um tanque contém 1000 L de água pura. Salmoura com 0,1 kg de sal por litro entra a 4 L/min, e a solução bem misturada sai na mesma vazão. Quanto sal m há no tanque após 45 min?
Resposta: I = 12
Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.
Resposta: A = 10,67
Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.
Resposta: x = −1,25
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
O teste da razão nada diz nos dois extremos; eles precisam ser verificados separadamente.
Resposta: |R₂| = 0,002667
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
O erro verdadeiro é menor: |f(0,2) − P₂(0,2)| = 0,002322.
Resposta: Duf = 0,4354
Gradiente: ∇f = (fx, fy) aponta na direção de maior crescimento, e |∇f| é a maior taxa de variação. A derivada direcional ao longo de uma direção v é Duf = ∇f·u com o vetor unitário u = v/|v|. O plano tangente em (a, b) é z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ele dá a aproximação linear de f perto desse ponto. Regra da cadeia: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Resposta: I = 0,8591
Pontos críticos e integrais duplas: um ponto crítico tem fx = fy = 0. Teste da segunda derivada com D = fxxfyy − fxy²: D > 0 e fxx > 0 é um mínimo local, D > 0 e fxx < 0 um máximo local, D < 0 um ponto de sela, e D = 0 não decide nada. Para uma integral dupla sobre uma região geral, faça dos limites internos as curvas que delimitam a região; para discos e setores use coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ e dA = r dr dθ (não esqueça o fator r).
Resposta: k = 0,02957 min⁻¹
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Resposta: m = 16,47 kg
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
O fator integrante é ert/V; a solução tende ao equilíbrio c·V.
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