Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 25% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 25%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €10 000 daqui a 20 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €10 0006% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €6 000, €5 000, €7 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 e devolve €29 500, €26 000, €24 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 29 500CF2 = 26 000CF3 = 24 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 8% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 8%n = 8
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 2%n = 3YTM = 2,5%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €6 000 000 e dívida no valor de €3 000 000. Seu WACC é 7,2%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €58,00 cada e 10 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 5,5%. Calcule o WACC.
β = 1,2rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 13, 37, 60, 54, 26, 41.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 10. Que proporção P dos valores está acima de 48?
μ = 60σ = 10x = 48
P =
11.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 4 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 4
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €2 para jogar. Você ganha €8 com probabilidade 0,15 e €20 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €2€8: p = 0,15€20: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
X é normal com média 60 s e desvio padrão 5 s; Y é independente e normal com média 45 s e desvio padrão 4 s. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 98,6 s. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 98,6 s
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 90% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos90%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 13 itens tem média 47 e desvio-padrão s = 18. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 13x̄ = 47s = 1895%t(12) = 2,179
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 30. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?
σ = 30E = 1,590%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 71,9 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,9s = 4n = 16
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 44 de 80 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 105 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 105n₂ = 150
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 47?
n = 6ŷ = 47
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 28,07 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,25/12 = 0,02083
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,02083)12 − 1 = 1,281 − 1 = 28,07%
Resposta
EAR = 28,07%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 21,64 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 6 000/1,12 = 5 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 5 000/1,254 = 3 985,97
CF3/(1 + 0,12)3 = 7 000/1,405 = 4 982,46
Somar
NPV = €−5 674,43
Resposta
NPV = €−5 674,43
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 28,52 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 2 528,00
NPV(30%) = −999,09
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,04, N = 16
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €407,83
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5339 = €533,91
Preço
P = €941,74
Resposta
P = €941,74
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: D = 2,941 anos
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 20/1,025 = 19,51, t·PV = 19,51
t = 2: 20/1,051 = 19,04, t·PV = 38,07
t = 3: 1020/1,077 = 947,17, t·PV = 2 841,51
Duration
P = 985,72
D = 2 899,10/985,72 = 2,941
Resposta
D = 2,941 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 9 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Parte da dívida no WACC
0,3333·4,5%·(1 − 0,2) = 1,2%
Custo do capital próprio
re = (7,2% − 1,2%)/0,6667 = 9%
Resposta
re = 9%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,019 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,2
Tabela da normal padrão
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Resposta
P = 0,8849
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,5177
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Resposta
P = 0,5177
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = −0,6 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 6 (p = 0,15), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Valor esperado
E(G) = 6·0,15 + 18·0,01 − 2·0,84 = −0,6 €
Resposta
E(G) = −0,6 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8413
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Padronizar
z = (98,6 − 105)/6,403 = −1
Cauda superior
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
14.Distribuição normal
Resposta: x = 80,8 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,1
z da tabela
z ≈ −1,28
De volta às unidades originais
x = 100 − 1,28·15 = 80,8 pontos
Resposta
x = 80,8 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 36,12
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margem de erro
E = 2,179·18/√13 = 10,88
Intervalo
47 ± 10,88 → [36,12, 57,88]
Resposta
limite inferior = 36,12
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1083
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·30/1,5)² = 1082
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 1083
Resposta
n = 1083
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,1
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Estatística de teste
t = (71,9 − 75)/1 = −3,1
Resposta
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,268
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 44/80 = 0,55
p̂₂ = 105/150 = 0,7
p̂ = 149/230 = 0,6478
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,6478·0,3522·(1/80 + 1/150)) = 0,06613
Estatística de teste
z = (0,55 − 0,7)/0,06613 = −2,268
Resposta
z = −2,268
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9748
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 355/5 = 71
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1842
Coeficiente de determinação
r² = 268²/(40·1842) = 0,9748
Resposta
r² = 0,9748
Cerca de 97,48% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 2,508
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 338/6 = 56,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
Reta de regressão
b = 82/17,5 = 4,686
a = 56,33 − 4,686·4,5 = 35,25
ŷ = 35,25 + 4,686·x
Resolver para x
x = (47 − 35,25)/4,686 = 2,508
Resposta
x = 2,508
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